Logika para-konsisten membantu kita menemukan struktur dalam kebisingan. Paling menonjol, subbidang dalam logika para-konsisten telah muncul yang berfokus pada penerapannya dalam matematika. Salah satu idenya adalah kembali ke sistem besar Frege dalam Grundgesetze dan menyusunnya kembali dalam logika para-konsisten. Pendekatan klasik mewajibkan menemukan cara agar paradoks Russell tidak lagi dapat diturunkan (seperti telah dicoba oleh banyak orang). Pendekatan para-konsisten, di sisi lain, akan membiarkan paradoks itu terjadi, hanya dengan cara yang tidak (terlalu) merusak. Richard Sylvan, perintis visioner dalam matematika tidak konsisten, mengusulkan pada akhir 1970-an teori himpunan aksiomatik yang "menghadapi paradoks secara langsung". Dalam beberapa tahun terakhir, telah ada beberapa langkah baik, meskipun belum final, ke arah ini. Idenya adalah, dengan cara ini, fondasi matematika dapat dikembalikan ke jalur menemukan kepastian yang tak goyang (meskipun paradoks) pada dasarnya.
Kekhawatiran Metodologis terhadap Pendekatan Para-Konsisten
Kekhawatiran segera mengenai pendekatan para-konsisten adalah bahwa ia tampak seperti bentuk kecurangan. Pendekatan ini seolah menghindari pekerjaan berupa perumusan teoretis filosofis atau pembangunan teori ilmiah yang sesungguhnya. Kekhawatiran ini, yang baru-baru ini diutarakan oleh filsuf sains Alan Musgrave dalam 'Against Paraconsistentism' (2020), menyatakan bahwa:
"Dapat dipertahankan secara masuk akal bahwa pertumbuhan pengetahuan manusia telah dan sedang digerakkan oleh kontradiksi. Lebih tepatnya, bahwa pertumbuhan tersebut telah dan sedang digerakkan oleh keinginan untuk menghilangkan kontradiksi dalam berbagai sistem kepercayaan."
Jika logika para-konsisten memungkinkan kita untuk menerima dengan tenang sebuah teori yang tidak konsisten, maka tidak akan ada dorongan untuk perbaikan. Cara lain menyatakan keberatan ini adalah bahwa para-konsistensi tampaknya menawarkan jalan keluar yang mudah dari masalah-masalah sulit, cara untuk mengabaikan keberatan atau bukti counter, serta mempertahankan teori yang cacat atau gagal jauh setelah teori tersebut didiskreditkan. Bukti arkeologis bertentangan dengan teori alien kuno? Tidak masalah! Ini hanyalah kontradiksi, bukan ancaman bagi teori. Debat rasional tampaknya terhambat, jika tidak hancur.
Keberatan metodologis ini mengacu kembali pada beberapa asumsi yang beroperasi di bawah permukaan dalam teori ilmiah dan filosofis kita, sejak Pencerahan dan sebelumnya. Seringkali, terdapat dua atau lebih teori yang bersaing untuk menjelaskan data tertentu. Bagaimana kita memutuskan teori mana yang akan diadopsi? Penjelasan standar dari Thomas Kuhn (1977) adalah kita menimbang berbagai keutamaan teoretis: konsistensi, ya, tetapi juga kedalaman eksplanatori, kesesuaian dengan bukti, keanggunan, kesederhanaan, dan sebagainya. Idealnya, kita mungkin memiliki semua ini, tetapi kriteria seperti kesederhanaan akan diabaikan jika diimbangi oleh, misalnya, daya prediktif. Demikian pula untuk konsistensi, kata para-logikus seperti Priest dan Sylvan.
Logika klasik membuat terlalu banyak pembuktian berlangsung padahal seharusnya tidak
Setiap keutamaan teoretis hanya bermanfaat sejauh ia cocok dengan dunia. Misalnya, dengan semua hal lain dianggap sama, teori yang lebih sederhana lebih baik daripada yang lebih rumit. Tetapi "semua hal lain" jarang sama, dan seperti yang ditunjukkan orang-orang dari Aristoteles hingga David Hume, teori yang lebih sederhana hanya lebih baik sejauh dunia itu sendiri sederhana. Jika tidak, maka tidak. Demikian pula dengan konsistensi. Keutamaan teori tertentu kemudian adalah masalah kesesuaiannya dengan dunia. Tetapi jika dunia itu sendiri tidak konsisten, maka konsistensi bukanlah keutamaan sama sekali. Jika dunia tidak konsisten---jika ada kontradiksi di dasar logika, atau di dasar semangkuk sereal---teori yang konsisten dijamin akan meninggalkan sesuatu.
Lalu, apa yang mendorong kemajuan dalam kasus di mana kita mungkin memutuskan bahwa teori yang tidak konsisten dapat diterima? Ada banyak cara di mana satu teori mungkin lebih baik dari yang lain. Dalam banyak kasus, konsistensi masih akan menang (misalnya, teman Anda tidak tiba pada pukul 17:12 dan 17:20), dan teori terbaik Anda tentang menunggu teman tidak boleh mengatakan bahwa mereka tiba pada kedua waktu tersebut. Tetapi pemilihan teori itu lebih berkaitan dengan fakta tentang orang dan waktu daripada konsistensi logis. Menggunakan ketidakkonsistenan sebagai penangkap umum, seperti yang dilakukan logika klasik, tampaknya---bagi logikus para-konsisten---seperti penghindaran yang terlalu kasar dari pekerjaan keras yang sesungguhnya: memikirkan segala sesuatu secara individual. "Lalu bagaimana kita menentukan apakah kontradiksi tertentu dalam konteks tertentu dapat diterima secara rasional?" tanya Priest dan Sylvan pada 1983. Ada solusi sederhana: "Jawaban pendahuluan adalah bahwa pada tahap ini, kita perlu mempertimbangkan setiap jenis kasus berdasarkan kelebihannya masing-masing."
Jawaban yang lebih pragmatis untuk kekhawatiran metodologis Musgrave---dan peringatan bagi siapa pun yang tergoda oleh para-konsistensi sebagai semacam "tiket gratis"---adalah bahwa bekerja dalam logika para-konsisten membuat segalanya menjadi lebih sulit, bukan lebih mudah. Gagasan para-konsisten adalah bahwa logika klasik membuat terlalu banyak argumen valid, terlalu banyak pembuktian berlangsung padahal seharusnya tidak, sehingga validitas dan pembuktian ini dihilangkan dari mesin logis. Hal ini membuat penarikan kesimpulan dalam kerangka para-konsisten jauh lebih sulit karena ada lebih sedikit jalur inferensi yang tersedia. Seseorang yang mencoba membuat teori alien kuno para-konsisten mungkin menemukan bahwa membangun argumen yang valid dalam sistem mereka yang "lebih permisif" baru terlalu menantang untuk sepadan dengan usaha.
Dan itu menunjukkan beberapa masalah praktis serius untuk para-konsistensi yang telah muncul sejak diusulkan. Mungkin Frege tidak perlu lagi khawatir bahwa kontradiksi Russell akan mengarah pada 0=1 dalam teorinya. Tetapi Frege juga ingin teorinya membuktikan bahwa 1+1=2 dan mendukung aritmatika dasar lainnya. Seorang Frege para-konsisten mungkin mulai khawatir, dengan alasan yang baik, bahwa hasil benar ini juga tidak lagi dapat diturunkan. Tergantung pada pandangan Anda tentang peran logika dalam matematika, masalah ini, yang kadang-kadang disebut "penangkapan kembali klasik" (classical recapture), adalah masalah serius. Sylvan mengemukakan gagasan "merehabilitasi" matematika menggunakan para-konsistensi---mencoba menumbuhkan kembali kebenaran yang mapan dengan cara yang mirip dengan merehabilitasi ekosistem yang rusak. Hingga saat ini, sebagian besar proyek Sylvan masih belum selesai. Pekerjaan pada masalah ini telah menjadi salah satu area penelitian para-konsisten yang paling aktif dan menantang.
