Seluruh sistem ternyata tidak konsisten, dan karenanya---menurut Frege dan Russell---tidak masuk akal. Omong kosong. Dalam beberapa baris singkat, karya seumur hidup Frege terbukti gagal.
Ia terus bekerja selama dua dekade lagi, tetapi proyek besarnya telah hancur. Russell juga menghabiskan puluhan tahun berikutnya mencoba memahami penemuannya yang sederhana, pertama menulis Principia Mathematica yang monumental tapi cacat (tiga volume, 1910-13) bersama Alfred North Whitehead, lalu akhirnya beralih dari logika tanpa benar-benar memecahkan masalah. Tahun-tahun berlalu, dengan beberapa pikiran terbaik dunia berusaha keras mengatasi kontradiksi yang ditemukan Russell, tanpa menemukan solusi sepenuhnya memuaskan.
Pada 1931, seorang logikus muda bernama Kurt Gdel memanfaatkan paradoks serupa dari sistem Russell sendiri. Gdel menemukan pernyataan yang, jika terbukti benar atau salah---yaitu, dapat diputuskan---akan menjadi tidak konsisten. Teorema ketidaklengkapan Gdel menunjukkan bahwa tidak bisa ada teori dunia yang lengkap, konsisten, dan dapat dihitung---atau bahkan hanya tentang angka! Setiap teori yang lengkap dan dapat dihitung akan tidak konsisten. Dengan demikian, proyek rasionalis Pencerahan, dari Leibniz hingga program Hilbert, terbukti mustahil.
Setidaknya itulah cerita standarnya. Tapi pelajaran bahwa kita harus menyerah memahami dunia secara penuh adalah pil yang sangat pahit untuk ditelan. Sudah hampir seabad sejak peristiwa ini, penuh dengan kemajuan baru dan orisinal dalam logika, dan beberapa filsuf dan logikus berpikir sudah waktunya untuk menilai ulang.
Jika dunia adalah tempat sempurna, kita tidak akan membutuhkan logika. Logika memberi tahu kita apa yang mengikuti dari keyakinan yang sudah kita pegang, dari komitmen yang sudah kita ambil. Logika membantu kita mengatasi keterbatasan fana dan rentan kita. Di dunia sempurna, konsekuensi tak terbatas dari keyakinan kita akan terbentang jelas di depan mata. "Tuhan tidak memerlukan argumen, bahkan yang baik sekalipun," kata logikus Robert Meyer pada 1976: semua kebenaran jelas bagi Tuhan, dan Dia tidak perlu mendeduksikan satu dari yang lain. Tapi kita bukan dewa dan dunia kita tidak sempurna. Kita membutuhkan logika karena kita bisa salah, karena sesuatu memang salah, dan kita membutuhkan bimbingan. Logika paling penting untuk memaknai dunia saat dunia tampak tidak bermakna.
Cerita di atas berakhir dengan kegagalan sebagian karena logika yang digunakan Frege, Russell, dan Hilbert adalah logika klasik. Frege mengasumsikan sesuatu yang jelas dan mendapat kontradiksi, tetapi logika klasik tidak memberi ruang untuk kontradiksi. Karena aturan klasik ex contradictione quodlibet ("dari kontradiksi mengikuti segala sesuatu"), setiap kontradiksi tunggal membuat seluruh sistem tidak berguna. Tapi logika adalah teori tentang validitas: upaya menjelaskan kesimpulan mana yang benar-benar mengikuti dari premis yang diberikan. Seperti dicatat "anti-eksepsionalis tentang logika" kontemporer, teori logika sama seperti yang lain dalam sains dan filosofi. Mereka dikembangkan dan diperdebatkan oleh manusia, dan sepanjang waktu ada perbedaan pendapat tentang teori logika mana yang benar. Melalui perdebatan terus-menerus itu, banyak yang menyarankan bahwa satu kontradiksi yang mengarah pada omong kosong sembarang tampaknya tidak benar. Mungkin, aturan ex contradictione itu sendiri salah, dan seharusnya tidak menjadi bagian teori logika kita. Jika demikian, mungkin Frege sebenarnya tidak gagal.
Selama beberapa dekade terakhir, logikus telah mengembangkan sistem yang matematisnya ketat yang dapat menangani ketidakkonsistenan bukan dengan menghapuskan atau "memecahkannya", tetapi dengan menerimanya. Logika para-konsisten menciptakan peluang baru bagi teori yang di satu sisi tampaknya hampir tidak bisa disangkal kebenarannya (seperti Hukum Dasar V Frege) tetapi di sisi lain diketahui mengandung beberapa ketidakkonsistenan, seperti pernyataan tegas berbentuk P dan bukan-P. Dalam logika klasik, ada pilihan sulit: tinggalkan setiap teori tidak konsisten sebagai irasional, atau jatuh ke dalam mistisisme semu. Dengan kemajuan baru dalam logika formal ini, mungkin ada jalan tengah, di mana kadang-kadang ketidakkonsistenan dapat dipertahankan, bukan sebagai teka-teki misterius, melainkan sebagai pandangan rasional yang tegas tentang dunia kita yang kontradiktif.
Ini adalah rasionalisme yang secara rasional mengakomodasi beberapa ketidakrasionalan tampak.
Logika para-konsisten paling terkenal dipromosikan oleh Newton da Costa sejak 1960-an dan Graham Priest sejak 1970-an. Meskipun awalnya (dan masih) dipandang dengan skeptis, "logika para-konsisten" kini memiliki kode klasifikasi matematika resmi (03B53, menurut American Mathematical Society) dan telah diadakan lima Kongres Dunia Paraconsistency sejak 1997. Logika ini kini dipelajari oleh peneliti di seluruh dunia, dan menawarkan prospek untuk mencapai yang mustahil: mengubah kembali hukum logika itu sendiri untuk memaknai situasi kita yang kadang tampak tidak bermakna. Jika berhasil, ini bisa menjadi dasar proyek Pencerahan baru, rasionalisme yang secara rasional mengakomodasi beberapa ketidakrasionalan tampak. Dalam pendekatan semacam ini, kebenaran tunduk pada rasionalitas; tetapi rasionalitas pada akhirnya juga tunduk pada kebenaran.
Ini mungkin terdengar membingungkan, jadi mari kita mulai dengan contoh yang sangat biasa. Misalkan Anda menunggu teman. Mereka bilang akan bertemu sekitar pukul 17.00. Sekarang pukul 17.07. Teman Anda terlambat. Tapi di sisi lain, ini baru beberapa menit lewat 17.00, jadi sebenarnya, teman Anda belum terlambat. Haruskah Anda menelepon mereka? Ini sedikit terlalu dini, tapi mungkin tidak terlalu dini... karena teman Anda terlambat dan tidak terlambat. (Mereka bukan tidak terlambat dan juga bukan tidak terlambat, karena Anda jelas berdiri di sana dan mereka jelas belum tiba.) Apa pun pendapat Anda tentang ini, logika para-konsisten hanya menyarankan bahwa, pada titik ini, Anda tidak boleh menyimpulkan, bahkan secara sementara, bahwa Bulan terbuat dari keju hijau, atau 2+2=5, atau bahwa mungkin alien yang membangun piramida. Itu akan menjadi penalaran yang buruk.
Situasi seperti ini begitu umum sehingga mungkin tampak tidak masuk akal jika memerlukan sistem logika non-klasik yang rumit untuk menjelaskannya. Tapi mungkin kita begitu terjerat dalam kontradiksi dalam kehidupan sehari-hari, begitu terus-menerus ditarik dalam arah yang bertentangan secara bersamaan, sehingga kita bahkan tidak menyadarinya, kecuali ketika ketidakkonsistenan menjadi begitu menggejala sehingga tidak bisa diabaikan.
