Kita mungkin akrab dengan dilema berikut. Di satu sisi, kehidupan yang baik membutuhkan keamanan, keselamatan, dan keteraturan. Ini bisa berarti keluarga, pasangan, pekerjaan tetap. Di sisi lain, kehidupan yang baik juga membutuhkan pengalaman baru, risiko, dan kemandirian autentik---yang sering kali tidak sejalan dengan memiliki keluarga, pasangan, atau pekerjaan. Sehari-hari, menyeimbangkan tuntutan ini tidak hanya menantang, tetapi terasa mustahil. Karena, kita sadar, tuntutan kehidupan yang baik tidak hanya sulit; kadang-kadang, tuntutan ini benar-benar bertentangan. "Pengalaman manusia," tulis novelis George Eliot pada 1876, "biasanya penuh paradoks."
Salah satu tujuan filosofi adalah membantu kita memaknai hidup, dan salah satu caranya adalah melalui logika. Logika formal adalah pendekatan yang mungkin terlalu harfiah, di mana "memaknai" diwujudkan dalam simbol matematika yang kaku. Tapi terkadang, hidup kita tidak masuk akal, bahkan setelah kita pikirkan dengan sungguh-sungguh. Di mana logika saat itu? Bagaimana jika dunia benar-benar tidak bermakna? Bagaimana jika ada masalah yang tidak bisa dipecahkan secara konsisten?
Logika formal yang kita kenal saat ini tumbuh dari proyek Abad Pencerahan (Abad 17): rencana rasionalis untuk memaknai dunia dalam istilah matematika. Asumsi fundamental proyek ini adalah bahwa dunia memang bermakna dan bisa dipahami: ada alasan yang dapat dipahami untuk segala sesuatu, dan akal kita akan mengungkapkannya. Dalam bukunya La Gomtrie (1637), Ren Descartes berasumsi dunia bisa ditutupi oleh grid presisi yang mengubah geometri menjadi analisis. Dalam Etika (1677), Baruch Spinoza mengusulkan pandangan tentang Alam dan tempat kita di dalamnya yang begitu presisi hingga bisa dinyatakan dalam bukti matematis. Dan dalam serangkaian esai sekitar 1679, G.W. Leibniz membayangkan bahasa formal yang mampu mengekspresikan setiap pemikiran mungkin dalam simbol kristal yang menjaga struktur---characteristica universalis---yang mematuhi aturan aljabar presisi, memungkinkan kita menemukan jawaban---calculus ratiocinator.
Rasionalisme bermimpi besar. Tapi mimpi itu murah. Yang mengejutkan adalah, pada awal Abad 20, aspirasi Leibniz tampaknya hampir terwujud berkat kemajuan pesat di berbagai bidang ilmu. Matematikawan berpengaruh David Hilbert bahkan mengusulkan sesuatu yang masuk akal saat ia menjadikan asumsi rasionalis sebagai credo pada 1930: "Kita harus tahu, kita akan tahu."
Credo Hilbert didasari sebagian pada kesuksesan spektakuler logikus akhir Abad 19 yang mereduksi matematika murni (geometri, teori himpunan, aritmatika, analisis riil) hingga ke inti kesahihan deduktif absolut. Jika logika itu sendiri bisa dipahami secara tepat, maka proyek menciptakan teori dunia yang lengkap dan konsisten (atau minimal, dasar matematikanya) tampaknya dapat dicapai---cara menjawab setiap pertanyaan, seperti kata Hilbert, "untuk menghormati pemahaman manusia itu sendiri."
Tapi bahkan saat Hilbert menyampaikan credo-nya dan merinci rencana memecahkan Entscheidungsproblem---membangun apa yang sekarang kita sebut komputer yang bisa secara mekanis memutuskan kebenaran atau kepalsuan setiap kalimat---semua tidak beres. Bahkan, semua sudah tidak beres sejak lama.
Ini omong kosong. Dalam beberapa baris singkat, karya seumur hidup Frege terbukti gagal.
Pada 1902, tepat di ambang menyelesaikan karya seumur hidupnya, logikus Gottlob Frege menerima surat mencekam dari Bertrand Russell. Frege sedang berusaha memberikan fondasi matematika dari logika murni---mereduksi pertanyaan kompleks tentang aritmatika dan analisis riil menjadi pertanyaan dasar tentang validitas logika formal. Jika program ini, yang dikenal sebagai logisisme, berhasil, maka kepastian tampak dari deduksi logika akan meresap ke seluruh matematika (dan bidang lain yang bisa direduksi menjadi matematika). Pada 1889, Frege menciptakan "notasi konsep" orisinal untuk logika kuantifikasi demi tujuan ini, dan menggunakannya dalam Hukum Dasar Aritmatika (dua volume simbolisme mengesankan, diterbitkan 1893 dan 1903). Russell juga memiliki tujuan logisisme, dan dalam suratnya, Russell pada dasarnya mengatakan bahwa ia sangat menyukai buku terbaru Frege, tetapi baru saja menyadari satu keanehan kecil: salah satu aksioma dasar yang menjadi landasan semua upaya Frege tampaknya mengandung kontradiksi.
Frege mengasumsikan apa yang disebutnya "Hukum Dasar V" yang menyatakan: Himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki sifat sama. Contoh, himpunan semua segitiga terdiri dari semua dan hanya segitiga. Ini tampak cukup jelas bagi Frege untuk dianggap sebagai kebenaran logis yang evident. Tapi dari Hukum Dasar V, Russell menunjukkan bahwa sistem Frege bisa membuktikan pernyataan berbentuk P dan bukan-P sebagai teorema. Ini dikenal sebagai Paradoks Russell:
Misalkan R adalah kumpulan semua objek yang memiliki sifat "tidak menjadi anggota diri sendiri". (Contoh, himpunan segitiga bukanlah segitiga itu sendiri, jadi ia termasuk R). Bagaimana dengan R itu sendiri? Jika R ada di R, maka ia tidak ada di R, menurut definisi R; jika R tidak ada di R, maka ia ada di R, lagi menurut definisi. Ia harus salah satu---jadi ia keduanya: R ada di R dan R tidak ada di R, menjadi anggota diri sendiri dan bukan, sebuah kontradiksi.
