Dalam teori grup, isomorfisme mengacu pada kesetaraan struktural antara dua grup yang berasal dari konstruksi yang sangat berbeda, tetapi secara mengejutkan memiliki struktur aljabar yang identik.
Demikianlah, PSL(2,7) secara struktural identik dengan grup GL(3,2), yaitu grup dari semua matriks 33 yang dapat dibalik (invertible) dengan entri dari medan biner F2={0,1}.
Isomorfisme antara PSL(2,7) = GL(3,2), adalah sebuah kebetulan matematis yang sangat mendalam, dan berfungsi sebagai "Batu Rosetta" yang memungkinkan penerjemahan antara dua dunia matematika yang tampaknya sama sekali tidak berhubungan.
Manifestasi paling langsung dan fundamental dari grup GL(3,2) dan dengan demikian juga PSL(2,7) adalah: BIDANG FANO.
Kelompok simetri Bidang Fano memiliki tepat 168 transformasi yang menjaga struktur titik dan garisnya. Artinya, ada 168 cara berbeda untuk memutar, mencerminkan, atau mengubah susunan titik dan garis di Bidang Fano tanpa mengubah hubungan antaranya. Kelompok ini dikenal sebagai PSL(2,7), dan secara matematis setara dengan GL(3,2).
Dalam penyelaman yang lebih jauh, kita menemukan Koneksi SIMETRI 168 meluas ke ranah aljabar yang lebih eksotis, yaitu OKTONION.
Oktonion adalah sistem bilangan hiperkompleks 8-dimensi, yang terdiri dari satu bagian riil dan tujuh "unit imajiner".
Yang menarik, Secara menakjubkan, BIDANG FANO berfungsi sebagai alat bantu visual yang sempurna untuk mendefinisikan tabel perkalian ketujuh unit imajiner tersebut.
Dari dunia diskrit dan biner, SIMETRI 168 secara mengejutkan muncul kembali dalam domain kontinu analisis kompleks. Objek yang dimaksud adalah KURVA KUARTIK KLEIN, sebuah permukaan Riemann kompak dengan genus 3.
Keistimewaan kurva ini terletak pada tingkat simetrinya yang luar biasa. Kurva Klein adalah sebuah "permukaan Hurwitz" karena ia secara tepat mencapai batas maksimal ini, dan grup automorfismenya adalah PSL(2,7).
Kemunculan PSL(2,7) di sini sangatlah mendalam. Ia menunjukkan bahwa struktur aljabar abstrak yang sama mengatur simetri dari dua objek yang sangat berbeda secara fundamental, Â yakni: BIDANG FANO yang merupakan geometri diskrit dan kombinatorial terkecil, dan KURVA KLEIN yang merupakan permukaan kontinu dan analitik paling simetris di kelasnya. Ini adalah bukti kuat akan kekuatan pemersatu dari teori grup, di mana logika simetri yang mendasarinya melampaui medium spesifik - baik itu medan biner maupun medan bilangan kompleks.
