Belajar Probabilitas Dasar

Dosen Pengampu : Nila Ubaidah, S.Pd., M.Pd

Disusun Oleh:

Elsa Yasinta (34202100001)

Ayunda Argadinata (34202100002)

Erlina Maf'atun Rohmah (34202100003)

Goals Penelitian Probabilitas :

1.Mengetahui tingkat pemahaman siswa dalam materi pembelajaran probabilitas (permutasi dan kombinasi).

2.Mengetahui perbandingan hasil pemahaman siswa.

Belajar Probabilitas Dasar

Probability adalah pengukuran terhadap suatu kemungkinan atau peluang. ProbabilityExperiments adalah aksi atau percobaan yang menghasilkan suatu perhitungan, pengukuran, atau respon.Untuk dapat memahami probabilitas experiments lebih baik berikut contoh kasus yang bisa kita manfaatkan. Dalam kasus ini, kita dihadapkan pada suatu probabilitas eksperimen berupa pelemparan dadu bersisi enam. 

Sample space ini adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan {1,2,3,4,5,6}. Pada sample space ini, kita tidak dapat menemukan bilangan lain selain ke-enam bilangan ini. Karena hanya ke-enam bilangan ini sajalah yang bisa dihasilkan dari eksperimen pelemparan dadu bersisi enam. 

Setiap nilai individual yang terdapat dalam sample space ini di kenal dengan istilah outcome. Sebagai contoh disini bilangan {2} merupakan salah satu outcome yang mungkin dihasilkan dari eksperimen pelemparan dadu bersisi enam. Berikutnya salah satu event mungkin muncul dari eksperimen ini adalah mendapatkan bilangan genap, dimana event ini akan berkolerasi dengan himpunan yang terdiri dari bilangan {2,4,6}. Dan bisa kita lihat disini, event merupakan himpunan bagian dari sample space.

Tree diagram digunakan untuk memberikan gambaran secara visual terkait secara outcome dari suatu probability eksperiment. Untuk memahami tree diagram berikut terdapat contoh kasus yang bisa kita manfaatkan. Disini kita diharapkan pada probability eksperiment berupa pelemparan sebuah koin dan sebuah dadu bersisi enam. Tree diagram akan membantu kita untuk mengidentifikasi setiap outcome yang mungkin muncul hingga kita bisa mendapatkan sample space dari suatu probabilitas eksperiment. Pelemparan koin akan menghasilkan dua buah outcome yaitu {H,T}. 

Selanjutnya pelemparan dadu yang mungkin akan memiliki enam outcome yatu {1,2,3,4,5,6}. Pelemparan dadu ini akan dilakukan baik pada pelemparan koin dengan outcome {H} atau {T}. Oleh karenanya disini kita mendapatkan 6 outcome dari pelemparan dadu ini. Pada kedua cabang dari pelemparan koin. Selanjutnya kita bisa melakukan pendataan pasangan outcome dari pelemparan sebuah koin dan sebuah dadu untuk membentuk sample space. Terdapat dua belas outcome pada sample spacenya yaitu, {H1,H2,H3,H4,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}.

Event umumnya direpresentasikan dengan huruf kapital, seperti A,B, dan C. Lalu suatu event yang terdiri dari sebuah outcome dikenal sebagai simple event. Untuk dapat memahami event dengan baik, berikut contoh kasus yang bisa dimanfaatkan. Event melempar sebuah koin dan dadu bersisi enam serta mendapatkan head dan 3 merupakan simple event dan bisa direpresentasikan sebagai A = {H3}. Sedangkan event melempar sebuah koin dan dadu bersisi enam serta mendapatkan head dan bilangan genap bukan merupakan simple event karena memiliki 3 kemungkinan outcomes. Event ini bisa direpresentasikan sebagai B = {H2,H4,H6}.

Pemanfaatan tree diagram untuk menghitung banyaknya outcome dari sejumlah event tidaklah praktis. Sebagai alternatif kita bisa memanfaatkan fundamental counting principle untuk mengetahui jumlah kemungkinan outcomes dari dua atau lebih event yang muncul secara berurutan. 

Untuk memahami fundamental counting principle kita akan coba mempelajari contoh kasus berikut ini. Pada kasus kali ini, kita dihadapkan dengan suatu system pengamanan yang menerapkan empat digit bilangan (0-9) sebagai kode akses. Setiap digitnya adalah berisi bilangan mulai dari nol sampai sembilan. 

Dan disini kita diminta untuk menghitung berapa banyak kemungkinan kode akses yang bisa di bentuk. Pertama-tama kita akan cermati setiap outcome untuk tiap digit dari kode akses ini. Untuk tiap digit kode akses kita bisa menggunakan bilangan mulai dari nol sampai sembilan atau dengan kata lain kita memiliki sepuluh outcome untuk tiap digitnya. 

Dengan menerapkan fundamental counting principle kita bisa menghitung total jumlah outcome yang terdapat pada sample space dengan mengalikan setiap outcome yang dihasilkan di tiap digit kode akses ini. Oleh karenanya disini kita akan melakukan perhitungan 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000.

Probability dapat dituliskan dalam format pecahan, decimal, atau presentase. Probability untuk kemunculan event E dapat dituliskan sebagai P(E). dalam statistika terdapat tiga type probability yaitu classical probability, empirical probability, dan subjective probability.

Classical probability digunakan ketika setiap outcome pada sample space memiliki peluang yang sama untuk muncul. Dapat di representasikan dengan P(E) = number of outcome in event E / total number of outcomes in sample space. Atau kata lain, jumlah outcomes pada event E maka dibagi dengan total jumlah outcomes yang terdapat pada sample space. Nah untuk dapat memahami classical probability dengan baik, berikut terdapat tiga contoh event sebagai study kasus. 

Disini ada event A, event B, dan event C, dan ketiganya merupakan classical atau theoretical probability. Disini event A melakukan pelemparan sebuah dadu bersisi enam dan mendapatkan angka tiga, yang dapat direpresentasikan dengan A = {3} dan P(A) = 1/6 0,167. Nilai probability dari A diperoleh dengan melakukan operasi pembagian 1 dibagi dengan 6, nah satu ini merupakan jumlah outcome dari event A yaitu 3. Dan enam ini merupakan sample space dari pelemparan dadu bersisi enam dan nilai probabilitynya adalah 0,167.

Selanjutnya event B merupakan event pelemparan sebuah dadu enam sisi dan mendapatkan angka 7. Nah karena dadu cuma memiliki enam sisi tidak memungkinkan kita menemukan angka 7. Oleh karenanya event B dapat dituliskan sebagai berikut B = { }. Nilai dari probability event B ini bisa dirumuskan sebagai berikut P(B) = 0 / 6 = 0. Selanjutnya untuk event C merupakan event pelemparan sebuah dadu enam sisi dan mendapatkan angka lebih kecil dari lima. Dan event C ini dapat dituliskan dengan C = {1,2,3,4} dan nilai probability dari C adalah P(C) = 4/6 = 0,667.

Empirical probability didasarkan pada observasi dari probability experiments. Empirical probability sendiri dapat dirumuskan dengan P(E) = frekuensi event E / total frekuensi. Nah untuk dapat memahami empirical probability dengan baik kita coba mempelajari contoh kasus berikut ini. Disini terdapat suatu perusahaan yang melakukan survey online dengan memilih sejumlah responden secara acak untuk dimintai keterangan seberapa sering mereka melakukan recycle atau daur ulang. Dan sejauh ini mereka mendapatkan data dari 2.451 responden. 

Dan ini merupakan responses yang diberikan oleh respondennya. Ada always dengan frekuensi 1.054, often dengan frekuensi 613, sometimes dengan frekuensi 417,rarely dengan frekuensi 196, dan terakhir ada never dengan frekuensi 171 dan total respondennya adalah 2.451. nah pertanyaannya adalah berapa probability  untuk orang selanjutnya yang akan disurvey memberikan respons always? Untuk kasus ini kita akan mencari atau melakukan perhitungan dengan cara P(always) = 1.054 / 2.451 = 0,430. Ketika suatu probability eksperimen dilakukan secara berulang-ulang, maka nilai empirical probability yang dihasilkan akan mendekati nilai theoretical probability dari event terkait.

Subjective probability didasarkan pada intuisi, educated guesses, dan estimasi. Sebagai contoh disini seorang dokter memberikan estimasi keberhasilan dari proses operasi yang ditanganinya sebesar 90%, lalu contoh kedua seorang mahasiswa merasa yakin bahwa peluangnya untuk lulus di matakuliah statistika adalah 70%. Nah dilihat dari sini kesamaanya adalah tidak didasarkan pada data pengamatan. Keduanya murni didasarkan pada intuisi dan educated guesses. Nah probabilitas semacam inilah dikenal sebagai istilah subjective probability.

Range of probability atau rentang dalam probability. Probability dari suatu event E akan memiliki jangkauan antara 0 sampai dengan 1 apabila dinotasikan ke matematis menjadi  (0 P(E) 1). Complement dari event E adalah semua outcomes pada sample spaces yang tidak disertakan pada event E. Complement dari event E direpresentasikan sebagai E'.

P(E) + P(E') = 1

P(E) = 1 -- P(E')

P(E') = 1 -- P(E)

Conditional probability adalah probabilitas kemunculan suatu event, dengan mengetahui bahwa event lain sudah muncul atau terjadi. Conditional probability dapat dituliskan dengan notasi P(BA) yang dibaca dengan probability of B given A. Yang artinya nilai probability dari kemunculan event B dengan mengetahui event A sudah muncul. Untuk dapat memahami conditional probability dengan baik kita dapat memanfatkan kasus beikut. Dua buah kartu diambil secara berurutan dari setumpuk playing cards (yang terdiri dari 52 kartu). Pertanyaannya berapa probability untuk kartu pertama yang diambil adalah king A? Jika kartu pertama tidak dikembalikan ke dalam tumpukan kartu.

P(BA) = 4/51 = 0,078

Angka 51 diperoleh setelah event A pengambilan kartu pertama maka tumpukan kartu yang kita miliki saat ini terdiri dari 51 kartu. Lalu nilai 4 ini diperoleh karena pada event A atau event pengambilan kartu pertama, kartu yang terambil adalah king. Berarti pada tumpukan 51 kartu yang tersisa masih terdapat 4 buah queen. Sehingga nilai probabilitinya adalah 4/51.

Dua event adalah independent bila kemunculan dari event yang satu tidak memengaruhi probability kemunculan event kedua. Independent event dapat dirumuskan dengan:

P(BA) = P(B)

P(BA) = P(A)

Event yang tidak independent dikenal sebagai dependent event. Pada dependent event kemunculan suatu events akan dipengaruhi oleh kemunculan event sebelumnya. Dapat dirumuskan dengan:

P(BA) P(B)

Probability dari B given A nilainya tidak akan sama dengan nilai probability dari event B. ini dikarenakan kemunculan dari event A memiliki pengaruh terhadap kemunculan dari event B. nah untuk dapat membedakan independent event dengan dependent event dengan baik kita bisa mempelajari kasus berikut. Disini kita memiliki 2 contoh kasus yang akan membantu kita untuk lebih memahami perbedaan antara independent event dengan depandent event. 

Contoh kasus pertama, mendapatkan king (A) pada pengambilan kartu pertama (without replacement); dan mendapatkan queen (B) pada pengambilan kartu kedua. Disini kita bisa lihat event pengambilan kartu pertama without replacement maka secara otomatis akan berdampak pada event pengambilan kartu kedua. Oleh karenanya dinamakan dependent events. Untuk contoh kasus kedua, mendapatkan head pada pelemparan koin (A), dan mendapatkan angka 2 (B) pada pelemparan dadu enam sisi. Untuk kasus kedua ini telah nampak jelas bahwa event A tidak akan memiliki pengaruh terhadap kemunculan event B. Oleh karenanya ini dinamakan dengan independent event.

Untuk mencari probability dari dua event yang muncul secara berurutan, kita bisa memanfaatkan multiplication rule. Probability untuk dua buah event (A dan B) untuk muncul secara berurutan bisa dirumuskan dengan:

P(A and B) = P(A).P(BA)

Berikutnya bilamana kedua event (A dan B) tersebut independent, maka bisa disederhanakan menjadi:

P(A and B) = P(A).P(B)

Untuk dapat memahami multiplication rule dengan baik, kitabisa memanfaatkan contoh kasus berikut. Dua buah kartu diambil (without replacement) dari tumpukan playing cards (terdiri dari 52 kartu). Berapakah probability untuk mendapatkan kartu King lalu diikuti kartu Queen? (dependent event).

P(K and Q) = P(K).P(QP)

P(K and Q) = 4/52 x 4/51

P(K and Q) = 16/2652  = 0,006

INDEPENDENT

    Dua peristiwa dikatakan independent ( bebas ) jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa satu tidak mempengauhi atau tidak dipengaruhi oleh peistiwa lain. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa yang independent, maka probabilitas untuk kejadian peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

   

        Rumus = P (X n Y ) = P (X) x P (Y)

Contoh Soal

    Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 20 barang yang rusak. Berapa probabilitas untuk mendapatkan barang yang bagus (baik) jika dilakukan tiga kali pengambilan baang tersebut (barang yang telah diambil dikembalikan lagi).

        Penyelesaian=

            P (barang baik)   = 80/100 = 0,80

            P (barang rusak) = 20/10   = 0,20

            Dimana = X = Pengambilan pertama barang baik

                     Y = Pengambilan kedua barang baik

                     Z = Pengambilan ketiga barang baik

           

P (X n Y  n Z) = P (X) x P (Y) x P (Z)

           = 0,8 x 0,8 x 0,8

                     = 0,512

DEPENDENT

    Dua peristiwa dikatakan dependent(bersyarat) adalah jika terjadinya peristiwa yang satu akan mempengaruhi atau merupakan syarat terjadinya peristiwa lain. Jika peristiwa X dan Y merupakan peristiwa dependent (probabilitas bahwa Y akan terjadi jika diketahui bahwa X telah terjadi?

Rumus

P (X n Y) = P (X) x P (Y/X)

Contoh Soal

Seorang peneliti ingin mengetahui mata kuliah yang disukai mahasiswa. Untuk penelitian tersebut dibutuhkan 100 mahasiswa dan setelah diiberikan pertanyaan diketahui bahwa= 40 mahasiswa menyatakan menyukai mata kuliah matematika. 30 mahasiswa menyatakan menyukai mata kuliah statistika. 30 mahasiswa menyatakan tidak menyukai kedua mata kuliah di atas.

Jika dipilih 2 orang mahasiswa secara acak (setelah dipilih tidak dikembalikan lagi), berapa kemungkinan terpilih seorang mahasiswa yang menyukai mata kuliah Matematika dan seorang mahasiswa yang menyukai mata kuliah Statistika.

Penyelesaian:

    A = terpilih seorrang mahasiswa yang menyukai mata kuliah matematika

    B = tepilih seorang mahasiswa yang menyukai mata kuliah statistika.

Catatan = Dalam pemilihan secara berturut-turut terdapat dua kemungkinan pemilihan, yaitu terpilih yang menyukai mata kuliah matematika-statistika atau statistika-matematika, dengan demikian probabilitasnya adalah=

    P (A n B) = P (A) x P (B)                                 P (B n A) = P (B) x P (A)    

             = ( 40/100 ) x ( 30/99 )                      = ( 30/100 )  x ( 40/99 )

             = 0,1212                              = 0,1212

Jadi, probabilitas terpilih seoang mahasiswa yang menyukai matematika dan seorang mahasiswa yang menyukai mata kuliah statistika adalah 0,2424.    

Kaidah Pencacahan

bila ada n1 cara untuk mengerjakan suatu hal dan ada n2 untuk mengerjakan hal lain, akan terdapat n1 x n2 dan seterusnya sampai nk

Rumus

    n1 x n2 x.... x nk

Contoh Soal

    Bila sepasang dadu dilempar sekali, berapa banyak titik contoh dalam ruang contohnya?

Jawab:

    n 1 = dadu pertama = 6

    n2  = dadu kedua     = 6

Dengan demikian, sepasang dadu dapat mendarat dalam n = n1 x n2 = 6 x 6 = 36 cara pendaratan.

Bilangan Faktorial

    Bilangan n bilangan bulat positif, bilangan faktorial ditulis dengan n!

Rumus

    n!= n(n-1)(n-2)......3,2,1

Contoh Soal

    7!/(5! )=  7.6.5!/5!=7.6=42

Belajar Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah pengurutan urutan penyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi). Permutasi dari sekumpulan n objek dapat di formulasikan sebagai faktorial dari n.

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1

Kasus khusus 0! = 1

Untuk dapat memahami permutasi dengan baik kita bisa memanfaatkan kasus berikut. Salah satu ciri pada permainan sodoku adalah di tiap barisnya menampung sederet angka unik dengan jangkauan mulai dari 1-9. Disini kita tidak akan mempelajari sodoku secara mendalam, tetapi bagi kalian yang ingin tertarik untuk bisa  sodoku dengan baik maka kami akan referensikan disini. Pada kasus ini kita di hadapkan dengan pertanyaan, berapa banyak kemungkinan cara untuk melakukan pengurutan angka pada garis pertama. Karena disini terdapat 9 angka unik tanpa duplikasi dengan jangkauan 1-9 maka kasus ini bisa dipecahkan dengan melakukan pemfaktorial 9. Jadi,

9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880

Definisi formal permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sejumlah r objek yang diambil dari sekumpulan n objek unik dapat di formulasikan sebagai berikut.

nPr = n!/(n-r)!  , untuk r n

Untuk memahami konsep permutasi dengan baik kita bisa memanfaatkan contoh kasus berikut. Berapa banyak kemungkinan cara untuk membentuk empat digit angka sebagai kode akses, di mana tidak boleh ada angka yang berulang. Nah disini kasusnya adalah ada empat digit kode akses di mana setiap digit akan berisi angka dan angkanya dimulai dengan 0-9 dan yang menarik disini adalah ketika satu angka sudah digunakan di salah satu digit maka angka tersebut tidak boleh digunakan lagi di digit lain. Contoh ketika kita sudah menggunakan angka 3 pada digit pertama maka angka 3 tersebut tidak lagi digunakan pada digit kedua, ketiga ataupun keempat. Nah kalau kita refleksikan kembali pada formula dari permutasi yang kita pelajari sebelumnya maka, kasus kita disini nilai dari variabel n nya adalah 10.

10P4 = 10!/(10-4)!

10P4 = 10!/6!

10P4 = 10.9.8.7.6!/6!

10P4 = 5.040

Empat puluh tiga orang mengikuti lomba lari tingkat kecamatan. Berapa banyak kemungkinan posisi untuk juara pertama, kedua, dan ketiga yang dapat terbentuk?

43P3 = 43!/(43-3)!

43P3 = 43!/40!

43P3 = 43.42.41.40!/40!

43P3 = 74.046 kemungkinan

Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek sejenis dapat diformulasikan sebagai berikut.

 n!/(n1! .  n2! .  n3! .  n4!...nk!)

Dengan, n1+n2+n3+n4+...nk = n

Contoh kasus :

Semisal kita dihadapkan dengan sekumpulan deret huruf sebagai berikut: AAAABBC

Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret huruf tersebut?

nA = 4, nB = 2, nC = 1

= n! / nA!.nB!.nC!

= 7! / 4!.2!.1!

= 7.6.5 / 2

= 105

Sebuah perusahaan pengembang perumahan ditugaskan untuk melakukan pembangunan 6 unit rumah 1 lantai, 4 unit rumah 2 lantai, dan 2 unit rumah 3 lantai.

n1lt = 6, n2lt = 4, n3lt = 2

Bila setiap rumah dibangun secara berurutan. Berapa banyak cara pengurutan bangunan rumah yang mungkin terbentuk?

= n! /n1lt!.n2lt!.n3lt!

=12! / 6!.4!.2!

= 13.860

Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.

nCr = n! / (n-r)! x r!, Untuk r n

Contoh kasus :

Pemerintah kota memiliki 5 buah taman kota (A, B, C, D, E) yang membutuhkan instalasi lampu taman. Sayangnya anggaran yang tersedia hanya memungkinkan instalasi untuk 3 taman kota saja.

n = 5, r = 3

Berapa banyak opsi tiga taman kota yang bisa dipilih untuk instalasi lampu taman?

nCr = n! / (n-r)! x r!

5C3 = 5! / (5-3)! x 3!

5C3 = 5! / 2! x 3!

5C3 = 20 / 2

5C3 = 10

(ABC, ABD,ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE)

Suatu proyek pembangunan bendungan menyelenggarakan lelang untuk menunjuk 4 perusahaan pengembang. Terdapat 16 perusahaan pengembang yang berpartisipasi dalam proses lelang.

n = 16, r = 4

Berapa banyak kombinasi dari 4 perusahaan pengembang yang akan ditunjuk?

nCr = n! / (n-r)! x r!

16C4 = 16! / (16-4)! x 4!

16C4 = 16! / 12! x 4!

16C4 = 1.820

Probabilitas dengan permutasi dan kombinasi.

Suatu unit kegiatan mahasiswa beranggotakan 17 orang. Terdapat 3 orang yang menduduki posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk menduduki ketiga posisi tersebut.

n = 17, r = 3

Berapa probability untuk memilih tiga orang anggota secara acak dan ketiganya menduduki posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara?

17P3 = 17! / (17-3)!

17P3 = 17! / 14!

17P3 = 4.080

Nilai probabilitas dari event E :

P (E) = 1 / 4.080 = 0,0002

Berapa probability untuk mendapatkan keseluruhan diamond dari pengambilan 5 kartu pada tumpukan playing card (52 kartu)?

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 5 kartu :

52C5 = 52! / (52-5)! x 5!

52C5 = 52! / 47! x 5!

52C5 = 267.960

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari 5 kartu diamond :

13C5 = 13! / (13-5)! x 5!

13C5 = 13! / 8! x 5!

13C5 = 1.287

Nilai probabilitas dari event E :

P(E) = 13C5 / 52C5

P(E) = 0,0005

Random variabel x mempresentasikan suatu nilai numerik yang berasosiasi dengan setiap outcome dari suatu probability experimen. Kata random mengindikasikan bahwa nilai x ditentukan secara kebetulan.Dua jenis random variable :

    Discrete : semua kemungkinan outcomes dapat dihitung atau memiliki batasan.

Contoh : random variable x merepresentasikan jumlah wisudawan dari fakultas teknologi informasi di tahun ini.

    Continuous : semua kemungkinan outcomes tidak dapat dihitung, umumnya direpresentasikan dengan nilai interval.

Contoh : random variable x merepresentasikan volume minyak goreng yang ditampung dalam sebuah tangki berkapasitas 150 liter.

Suatu discrete probability Distribution mendata setiap kemungkinan nilai random variabel beserta probabilitasnya. Setiap discrete probability distribution harus memenuhi kondisi berikut.

0 P(x) 1, P(x) = 1

Membangun discrete probability distribution

    Bangun frekuensi distribusi untuk seluruh outcome.

    Hitung total jumlah kemunculan.

    Hitung probability untuk setiap outcome.

    Pastikan kedua syarat untuk suatu frekuensi distribusi terpenuhi.

Binomial eksperimen merupakan suatu probability eksperimen yang memenuhi kriteria berikut:

    Memiliki jumlah percobaan yang tetap dan setiap trial independendan setiap trial independent terhadap trial lainnya.

     Trial hanya memiliki dua kemungkinan outcomes; biasa dikategorikan sebagai sukses atau failure.

     nilai probability sukses yang sama untuk tiap trialnya.

     variabel x mempresentasikan jumlah kemunculan sukses dalam suatu eksperimen.

Empat notasi binomial eksperimen :

    n= banyaknya trials pada suatu eksperimen

    p = nilai probability sukses pada suatu trial

    q = nilai probability failure pada suatu trial

    x = jumlah kemunculan sukses pada suatu eksperimen.

Contoh kasus :

Suatu teknik pembibitan ikan lele memiliki tingkat keberhasilan 85%. Teknik ini lalu diterapkan pada 8 kolam ikan. Nilai random variabel mempresentasikan banyaknya Empang yang berhasil melakukan pembibitan. Apakah eksperimen ini bisa dikategorikan sebagai binomial eksperimen?

n = 8

p = 0,85

q = 1-0,85 = 0,15

x = 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Terbukti Binomial eksperimen.

Sebuah kaleng berisi 5 kelereng merah, 9 kelereng biru, dan 6 kelereng warna hijau. Dilakukan pengambilan 3 buah kelereng dari kaleng secara acak tanpa pengembalian.

Random variable mempresentasikan banyaknya kelereng merah yang terambil. Apakah eksperimen ini bisa dikatakan sebagai binomial eksperimen? Bukan binomial eksperimen.

Terdapat beberapa cara untuk menghitung probability dari x success dari sejumlah n trials pada suatu binomial eksperimen. Tree diagram, multiplication rule, binomial probability formula.

P(x) = nCx.P^x.q^n-x

P(x) = n! / (n-x)!.x! . P^x.q^n-x

Contoh kasus :

    Diketahuipeluang keberhasilan untuk suatu operasi otot tendon adalah 90%. Bila dilakukan operasi terhadap 3 orang pasien; berapa probability untuk mendapatkanberapa probabilitas untuk mendapatkan keberhasilan dapat 2 orang pasien?

n = 3, p = 9/10, q = 1/10, x = 2

P(x) = n! / (n-r)!.r! x p^x.q^n-r

P(x) = 3! / (3-2)! 2! x (9/10) (1/10)-

P(x) = 0,243

    Berikut adalah hasil survei yang dilakukan pada warga di suatu kecamatan terkait perangkat yang biasa digunakan untuk akses sosial media. Bila dilakukan pemilihan secara acak untuk 7 orang dari partisipan survei. Buatlah binomial probability distribution untuk partisipan yang melakukan akses menggunakan Cell phone.

p = 0,46; q = 0,54; n = 7, x = {0,1,2,3,4,5,6,7}

P(0) = 7C0 = 0,46 x 0,54 = 0,0134

P(1) = 7C1=  0,46 x 0,54= 0,0798

P(2) = 7C2 = 0,46 x 0,54= 0,204

P(3) = 7C3 = 0,46 x 0,54 = 0,2897

P(4) = 7C4 = 0,46x 0,54 = 0,2468

P(5) = 7C5 = 0,46 x 0,54 = 0,1261

P(6) = 7C6 = 0,46 x 0,54 = 0,0358

P(7) = 7C7 = 0,46 x 0,54 = 0,0044

    Berdasarkan hasil survei yang dilakukan warga di suatu kecamatan, didapati 62% partisipan berpendapat bahwa terdapat keterkaitan antara kegemaran anak-anak dalam memainkan video game bertema kekerasan dengan kenakalan remaja. Bila dilakukan pemilihan secara acak untuk 4 orang dari partisipan survey, berapa probability untuk mendapatkan:

    Tepat 2 orang yang sependapat.

    Setidaknya 2 orang yang sependapat.

    Kurang dari 2 orang yang sependapat.

n = 4, p = 0,62; q = 0,38

P(2) = 4C2 x 0,62 x 0,38 = 0,333044

P(3) = 4C3 x  0,62x 0,38 = 0,362259

P(4) = 4C4 x  0,62 x 0,38 = 0,147763

P(x2) = P(2) + P(3) + P(4)

P(x2) = 0,333044 + 0,362259 + 0,147763

P(x2) = 0,843

P(0) = 4C0 x 0,62 x 0,38 = 0,020851

P(1) = 4C1 x 0,62 x 0,38 = 0,136083

P(x<2) = P(0) + P(1)

P(x<2) = 0,020851 + 0,136083

P(x<2) = 0,157

Dari hasil pendekatan, diketahui 60% dai koban kecelakaan lalu lintas yang selamat (survivors) mengenakan sabuk pengaman (safety belt) dengan benar saat berkendara. Dilakukan pemilihan 6 orang survivors secara acak untuk di data berapa orang yang mengenakan safety belt dengan benar.

n = 6

p = 0,6

q = 0,4

x = 0    

P (0) = 0,004

x = 1

P (1) = 0,037

x = 2        

P (2) = 0,138        

x = 3

P (3) = 0,276

X = 4

P (4) = 0,311

x = 5        

P (5) = 0,187        

x = 6

P (6) = 0,047

Mean, Variance, and Standard Deviation

Mean:

=n p  

     

Variance

^2=n p q

Standar Deviation

= (^2 ) = (n p q)        

Contoh  penerapan mean

Dari hasil pendataan, diperoleh bahwa 56% cuaca haian di Kota Malang dalam satu tahun adalah berawan. Carilah mean yang mempresentasikan jumlah hari di Kota Malang dengan cuaca harian berawan pada Bulan Juni!

n = 30

p = 0,56

q = 0,44

= n x p

   = 30 x 0,56

  = 16,8

Distribusi Geometric    

Distribusi Geometric merupakan suatu dicrete probability distribusi yang memenuhi  kriteria berikut=

    Percobaan ( trial ) akan dilakukan berulang kali sampai mendapatkan outcame uyang sukses.

    Setiap Percobaan ( trial ) adalah independent terhadap trials lainnya

    Memiliki nilai probabilitas sukses ( p ) yang sama untuk tiap trial.

    Randome variabel x mempresentasikan banyak trials yang dilakukan sampai mendapati kondisi sukses.

RUMUS =

    p ( x ) = p x q x-1

        q        = 1 -- p

Contoh Soal

    Diketahui seorang pemain basket sejauh ini mencatat keberhasilan 75% dalam melakukan free throws.

Berapa probabilitas pemain tersebut mendapatkan point free throw pertamanya pada pelemparan ketiga atau keempat?

Jawab =

    P = 0,75        P ( 3 ) = 0,75 x 0,253-1        P ( 3 or 4 ) = p ( 3 ) + p ( 4 )

    q = 0,25                   0,046875                = 0,046875 + 0.011719

                        P ( 4 ) = 0,75 x 0,254-1                 0,059

                                          0.011719

Distribusi Poisson

Distribusi poisson adalah suatu discrete probability distribusi yang memenuhi kriteria berikut:

    Randome variable x  mempresentasikan banyaknya kemunculan suatu event dalam interval waktu tertentu.

    Nilai probabilitas untuk kemunculan event adalah sama untuk setiap interval.

    Jumlah  kemunculan event pada suatu inteval adalah independent terhadap jumlah kemunculan event pada interval lainnya.

 Rumus

    P ( x ) = ^x x e^(-p)/ x!

Dimana = e = bilangan irasional = 271828

                = rata-rata jumlah kemunculan event di tiap interval

Contoh Soal

    Diketahui  rata-rata jumlah kasus kecelakaan lalu lintas per bulan yang terjadi di suatu ruas jalan toll adalah 3 kasus.

Berapa nilai probabilitas untuk mendapatkan 4 kasus kecelakaan dalam satu bulan tertentu pada ruas jalan tersebut?

Jawab:

    x = 4

      = 3        P ( 4 ) = 3^4  x e^(-3)/4!

                       0,168