Bertrand Russell, salah satu ahli matematika, ahli logika, dan filsuf abad ke-20 yang paling berpengaruh, memberikan namanya kepada salah satu paradoks logis paling terkenal dan berpengaruh pada periode modern. Sedangkan beberapa paradoks kuno, yang paling terkenal yang dikembangkan oleh Zeno, berkaitan dengan masalah logika atau penalaran seperti itu, paradoks Russell adalah masalah untuk seperangkat teori logika yang lebih terbatas, khususnya yang dikenal sebagai perangkat naif. teori. Dalam artikel ini, diskursus paradoks ini, konteks sejarah kemunculannya dan konsekuensinya terhadap filsafat dan logika.
Seperti yang telah kami sebutkan, paradoks Russell menyangkut teori himpunan yang naif. Naif di sini tidak merendahkan, tetapi hanya berfungsi untuk membedakannya dari teori aksiomatik (yang mendahului aksioma yang didefinisikan dalam logika formal). Logika formal di sini mengacu pada setiap upaya untuk memeriksa argumen dan penalaran yang melibatkan menerjemahkannya dalam bahasa formal, yang dibuat-buat dan dibuat khusus untuk tujuan mempelajari penalaran dan argumen. Ini berbeda dengan logika informal, yang mempelajari argumen dan penalaran dengan berfokus pada bahasa alami, seperti bahasa Inggris.
Teori himpunan naif dimulai dengan definisi informal; yang kita temukan dalam bahasa alami, dan bukan bahasa logika formal yang diciptakan oleh matematikawan atau ahli logika (filsuf yang mempelajari logika) untuk diri mereka sendiri.
Inti dari paradoks menyangkut kumpulan yang tampak sebagai anggota dari dirinya sendiri, dan bukan anggota dari dirinya sendiri. Daripada awalnya menetapkan paradoks dalam istilah yang cenderung dipikirkan oleh matematikawan dan ahli logika, kita dapat mulai dengan memeriksa contoh yang lebih informal.
Pertimbangkan paradoks tukang cukur: Bayangkan seorang tukang cukur yang mencukur semua pria di desa yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan hanya pria yang tidak mencukur dirinya sendiri. Apakah tukang cukur mencukur dirinya sendiri? Jika kita berkata, Tidak, maka dia adalah seorang laki-laki di desa ini yang tidak mencukur dirinya sendiri, jadi siapa yang harus mencukurnya? Tukang cukur rambut! Tapi dia tukang cukur, jadi dia benar -benar mencukur dirinya sendiri. Jika kita mengatakan, Ya, maka dia adalah orang yang mencukur dirinya sendiri, jadi dia tidak bisa dicukur oleh tukang cukur, tetapi itu berarti dia sebenarnya tidak mencukur dirinya sendiri, dan seterusnya.
Ini mungkin tampak seperti keingintahuan ekspresi alami yang tidak berbahaya, dan tampaknya menyelesaikan masalah hanya dengan menjawab: tidak mungkin ada tukang cukur seperti itu. Namun, paradoks ini bukannya tidak berbahaya sejauh menyangkut ahli logika dan matematikawan. Padahal, meski beberapa implikasi dari paradoks tersebut masih diperdebatkan. Konsekuensi langsung termasuk penemuan kerentanan utama dalam upaya yang paling menjanjikan untuk mendukung matematika menggunakan logika formal.
Bertrand Russell mengembangkan paradoks Russell secara luas sebagai tanggapan atas karya Gottlob Frege, seorang matematikawan, ahli logika, dan filsuf Jerman. Secara khusus, Russell mengangkat paradoks sebagai tanggapan terhadap konsep himpunan yang digunakan oleh Frege dalam artikulasi keseluruhan proyek seumur hidupnya, yang merupakan upaya untuk menunjukkan matematika dapat direduksi menjadi logika.
Tidak ada ruang untuk membahas fungsi yang tepat dari himpunan dalam keseluruhan proyek Frege di sini, tetapi kita dapat meringkas secara ringkas teorinya tentang himpunan sebagai berikut. Untuk Frege, set berkorespondensi dalam relasi satu ke satu dengan properti. Ada sesuai dengan masing-masing properti satu set hal yang mengatakan properti. Misalnya, set yang sesuai dengan properti menjadi pemenang Ballon d Or Pria 2021 akan memiliki satu anggota, yaitu Lionel Messi. Apa yang harus diingat tentang teori ini yang bergerak maju adalah teori ini menganut apa yang kemudian dikenal sebagai prinsip pemahaman tak terbatas. Sederhananya, prinsip itu menyatakan untuk properti apa pun, ada satu set dari semua dan hanya objek yang memiliki properti itu.
Tidak semua himpunan sejelas contoh yang baru saja kita sebutkan, dan penting untuk mengamati beberapa masalah filosofis yang diangkat oleh konsepsi himpunan ini. Pertimbangkan pertanyaan tentang apa yang terkandung di dalam himpunan yang sesuai dengan sifat merah, yaitu himpunan yang berisi semua benda berwarna merah. Tidak banyak benda di alam semesta, jadi himpunannya tidak terlalu besar. Ini hipotetis, mengingat kita tidak mengetahui setiap benda berwarna merah, dan pada prinsipnya kita mungkin tidak mengetahui setiap benda berwarna merah. Apakah set seperti itu bisa dibayangkan? Apakah itu bisa dibayangkan?
Teori warna kami tentu saja merupakan faktor. Bagaimana kita memahami himpunan ini, jika kita dapat memahaminya, pasti akan bergantung pada apakah kualitas warna merah ditentukan oleh fakta tentang bahasa manusia, persepsi manusia, atau fakultas kognitif lainnya, atau apakah merah adalah properti alami. Memang, untuk membedakan bahasa dari kognisi dari alam dengan cara ini tidak dapat diterima oleh banyak filsuf. Poin-poin argumen yang lebih halus cenderung muncul ketika kita mencoba untuk mengkarakterisasi himpunan dan properti dengan cara ini.
Apa pun masalah dengan teori himpunan Frege, ia menghindari masalah yang menimpa teori himpunan lain, dan dalam hal apa pun ia memiliki peran penting dalam keseluruhan teori Frege. Jadi, apa masalah yang diajukan Russell untuk teori Frege? Itu menghidupkan gagasan himpunan yang merupakan anggota dari diri mereka sendiri, dan kemungkinan kontradiksi yang mereka ajukan untuk cara berpikir Frege tentang himpunan.
Jika kita menganggap tidak menjadi anggota dari dirinya sendiri sebagai properti, maka muncul pertanyaan: apakah himpunan dari semua himpunan yang bukan anggota dari dirinya sendiri (yang dapat kita sebut A ), anggota dari dirinya sendiri? Jika kita menjawab ya, kita mengklaim A adalah anggota dari dirinya sendiri, tetapi tentu saja ini tidak masuk akal, karena menurut definisi A bukanlah anggota dari dirinya sendiri. Sama halnya, jika kita menjawab tidak, ini tidak masuk akal karena menurut definisi itu adalah anggota dari dirinya sendiri.
Ada masalah terkait tentang kelas komprehensif. Russell menyatakan maksudnya sebagai berikut: "Kelas komprehensif yang sedang kita pertimbangkan, yang merangkul segalanya, harus merangkul dirinya sendiri sebagai salah satu anggotanya. Dengan kata lain, jika ada yang namanya "segalanya", maka "segalanya" adalah sesuatu, dan merupakan anggota kelas "segalanya". Tapi biasanya kelas bukanlah anggota dari dirinya sendiri. Umat manusia, misalnya, bukanlah manusia.Â
Bentuk sekarang kumpulan semua kelas yang bukan anggota dari diri mereka sendiri. Ini adalah kelas: apakah itu anggota dari dirinya sendiri atau bukan? Jika ya, itu adalah salah satu kelas yang bukan anggota dari dirinya sendiri, yaitu bukan anggota dari dirinya sendiri. Jika tidak, itu bukan salah satu kelas yang bukan anggota dari dirinya sendiri, yaitu anggota dari dirinya sendiri. Jadi dari dua hipotesis - itu adalah, dan itu tidak, anggota dari dirinya sendiri - masing-masing menyiratkan kontradiksinya. Ini adalah sebuah kontradiksi."
Sebelum melanjutkan, ada baiknya menyampaikan sepatah kata untuk Frege, baik sebagai seorang filsuf maupun sebagai manusia. Proyek Frege untuk mereduksi matematika menjadi logika, tidak diragukan lagi, tidak berhasil. Namun Frege jauh dari kegagalan filosofis. Selama sekitar satu abad terakhir, dia telah terbukti menjadi salah satu, jika bukan, filsuf logika, matematika, dan bahasa yang paling penting.
Michael Dummett, seorang filsuf terkemuka dengan haknya sendiri, berpandangan semua filsafat analitik, untaian dominan yang dipraktikkan di universitas berbahasa Inggris, harus benar-benar disebut filsafat Pasca-Fregean, begitu berpengaruh Frege dalam perjalanannya. perkembangan. Russell membawa paradoks ke perhatian Frege tepat ketika edisi kedua Hukum Dasar Aritmatika Frege akan diterbitkan.
Frege dikenal karena keramahan dan rasa kewajiban kolegialnya. Dia bertanggung jawab, antara lain, atas keputusan Ludwig Wittgenstein untuk bekerja dengan Russell di Cambridge. Paradoks ini, seperti yang pasti diketahui Frege, mengancam tidak hanya merusak seluruh bukunya, tetapi proyek yang telah dia dedikasikan sepanjang hidup produktifnya. Patut ditekankan betapa menakjubkannya tanggapan Frege, yang dijelaskan oleh Bertrand Russell sendiri sebagai berikut:
"Seluruh pekerjaan hidupnya berada di ambang penyelesaian, banyak dari pekerjaannya telah diabaikan untuk kepentingan orang-orang yang jauh lebih tidak mampu, jilid keduanya akan segera diterbitkan, dan setelah menemukan asumsi fundamentalnya salah, dia menjawab dengan kesenangan intelektual jelas menenggelamkan perasaan kekecewaan pribadi. Itu hampir seperti manusia super dan merupakan indikasi yang jelas tentang kemampuan manusia jika dedikasi mereka adalah pada pekerjaan kreatif dan pengetahuan alih-alih upaya yang lebih kasar untuk mendominasi dan dikenal ". Sulit untuk menyesali kepentingan intelektual dan kedudukan intelektual orang seperti itu di antara para filsuf saat ini.
Signifikansi paradoks Russell dapat dirasakan ketika kita menyadari segala sesuatu berasal dari kontradiksi, yang sekilas tidak terlihat jelas. Sulit untuk mendemonstrasikannya di sini, tetapi ikuti kerangka dasar dari logika klasik ini:
Jika ada kontradiksi, maka itu sama dengan mengatakan P, namun pada saat yang sama, bukan P, di mana P adalah sembarang kalimat dengan nilai kebenaran. P bisa jadi, misalnya, kalimat: Frege is a logician. Merupakan kontradiksi untuk mengatakan Frege adalah seorang ahli logika, dan Frege bukan seorang ahli logika. Jika kita mengasumsikan P dan bukan- P, kita dapat membuat kalimat apa pun yang mengikutinya dengan cara berikut:
Jika P benar, maka pasti benar salah satu dari P atau Q (kalimat lain) benar; lagipula, kita sudah tahu P benar, jadi meskipun Q salah, salah satu dari dua kalimat itu benar, jadi salah satu dari P atau Q benar. Tetapi mengingat kita mengasumsikan not- P benar, dan kita telah menunjukkan salah satu dari P atau Q benar, kita harus mengatakan Q benar. Ini gila dan tidak boleh terjadi! Kami tidak tahu apa Qadalah; itu bisa menjadi kalimat yang sama sekali tidak masuk akal atau sama sekali tidak masuk akal, namun kita harus mengatakan itu benar menurut hukum logika yang paling dasar. Begitulah kekuatan kontradiksi.
Berbagai tanggapan terhadap paradoks Russell telah ditawarkan. Salah satu solusi yang lebih alami ditawarkan oleh Russell sendiri. Tanggapan Russell sendiri, yang dikembangkan bersama dengan AN Whitehead, berusaha menghindari paradoks dengan mengatur semua kalimat menjadi semacam hierarki, dan berpendapat adalah mungkin untuk merujuk ke semua objek dalam kondisi tertentu hanya jika mereka memiliki level atau tipe yang sama.. Tujuan yang dinyatakan dari ini adalah untuk menghindari apa yang disebut lingkaran setan yang muncul dari apa yang mereka gambarkan sebagai, "kumpulan objek dapat berisi anggota yang hanya dapat didefinisikan melalui kumpulan secara keseluruhan."
Strategi umum ini muncul dari pandangan tidak ada fungsi yang dapat diterapkan pada objek yang mengandaikan fungsi itu sendiri. Oleh karena itu, ini merupakan semacam hierarki operasi, yang memungkinkan kita mempertahankan apa yang berguna tentang gagasan himpunan. Ini bukan satu-satunya pendekatan yang layak. David Hilbert, misalnya, mengambil apa yang dikenal sebagai pandangan formalis, yang mendukung penggunaan hanya objek yang terbatas dan terdefinisi dengan baik. Pendekatan terakhir, yaitu intuisionisme, yang dikembangkan oleh Luitzen Brower, berpendapat seseorang tidak dapat menyatakan objek matematika ada kecuali seseorang dapat menjelaskan prosedur yang dapat digunakan untuk membangunnya.
