Matematika Ekonomi

A. Sejarah Himpunan

Menurut sejarahnya, teori himpunan matematika mulai dikenal

sejak akhir abad ke-19 M, namun pada awal mula kemunculannya konsep

himpunan masih menjadi bahan perdebatan hingga akhirnya pada tahun

1920 M konsep himpunan menjadi salah satu pokok bahasan pada

matematika.1 Teori himpunan mulai diperkenalkan oleh seorang ahli

matematika yang berkebangsaan Jerman yakni Georg Cantor (1918).2

Goerg Cantor adalah ahli matematika yang mendapat julukan Bapak

Himpunan, dikarenakan beliau yang pertama kali berjasa dalam

mengembangkan teori himpunan terutama gagasannya dalam

mengembangkan teori himpunan tak hingga. Seorang yang mendapat

julukan sebagai Bapak Himpunan tersebut memiliki nama lengkap Georg

Ferdinan Ludwig Philipp Cantor. Lahir di Negara Rusia tepatnya di kota

St. Petersburg, 03 Maret 1845 dan meninggal di usia yang ke 73 tahun di

Negara Jerman tepatnya di kota Halle, 06 Januari 1918.3

Menurut gagasan beliau himpunan adalah sekumpulan objek yang

mempunyai syarat tertentu dan jelas. Yang kemudian objek-objek

tersebut dapat berupa benda-benda, bilangan dan sebagainya yang

selanjutnya disebut sebagai elemen atau anggota suatu himpunan.

Elemen suatu himpunan haruslah terdefinisi dengan jelas karena untuk

membedakan mana yang merupakan anggota suatu himpuna tersebut dan mana yang bukan anggota himpunan tersebut, yang selanjutnya disebut dengan terdefinisi dengan jelas.

Berdasarkan gagasan dari seorang bapak himpunan di atas, maka dapat diambil sebuah simpulan bahwa himpunan adalah kumpulan objek yang terdefinisi secara jelas, yang selanjutnya dijadikan sebagai definisi himpunan. Karena jika tidak terdefinisi secara jelas kumpulan tersebut hanyalah sebuah kumpulan dan bukan merupakan suatu himpunan.

B. Mengenal Himpunan

Sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari kita, bahwa kita sering mengatakan sekelompok pemain bola, sekumpulan anak muda,serenceng sabun cuci dan sekardus mie instan. Beberapa kata-kata yang menunjukkan atau mendeskripsikan suatu kumpulan antara lain seperti sekelompok, sekumpulan, serenceng, dan sekardus. Kata-kata yang mendeskripsikan suatu kumpulan tersebut di dalam matematika disimbolkan dengan kata himpunan. Jadi definisi dari himpunan adalah: Himpunan adalah sekumpulan objek yang terdefinisi secara jelas

1. Merepresentasikan Himpunan

Suatu himpunan dapat direpresentasikan atau dinyatakan dalam tiga metode atau cara sebagaimana berikut:

a. Metode Deskripsi atau Dengan Kata-kata. Metode deskripsi atau dengan kata-kata adalah metode untuk menyatakan himpunan dengan peryataan yang terdefinisi secara jelas dan dibatasi oleh tanda kurung kurawal {}.

Contoh :

Menyatakan himpunan dengan metode deskripsi,

1) {semua bilangan prima kurang dari 12} dan,

2) {huruf konsonan}.

b. Metode Mendaftar Satu-satu. Metode Mendaftar satu-satu juga dikenal dengan metode Tabulasi, dalam metode ini himpunan disajikan dengan cara menyebutkan atau mendaftar anggota himpunan satu demi satu dengan tiap-tiap anggota dipisah dengan tanda koma.

Contoh :

1) Himpunan A adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 10, maka ditulis A = {1, 3, 5, 7, 9}

2) Himpunan B adalah himpunan bilangan bulat negatif lebih dari -7, maka ditulis B = {-6, -5, -4, -3, -2, -1}

c. Metode Aturan Himpunan.9 

Metode ini adalah metode penyajian Himpunan dengan cara menuliskan sifat dari anggota himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan dengan sifat "R" maka dapat ditulis A = {x | x memenuhi R} dan dibaca A merupakan suatu himpunan anggotanya x sedemikian sehingga x memenuhi sifat R. Maka semua himpunan bagian yang mungkin pada himpunan K adalah , {a}, {b}, dan {a, b}, terdapat empat himpunan bagian pada himpunan yang memiliki dua anggota, maka dapat dituliskan banyaknya himpunan bagian adalah 2n (n adalah bilangan kardinal dari himpunan K) = 22 = 4 himpunan bagian dari himpunan K.

6. Himpunan Semesta (Universal) 

Himpunan semesta atau universal yang dilambangkan dengan S atau U, himpunan semesta memiliki semua himpunan sebagai anggotanya.

Contoh : 

P = {x | x merupakan siswa kelas 7 SMP Islam El Syihab} 

Q = {x | x merupakan siswa kelas 8 SMP Islam El Syihab} 

Maka S dapat ditulis dengan: 

S = {x | x merupakan siswa SMP Islam El Syihab}.

Contoh : 

1) P = {x | x bilangan prima kurang dari 12}Maka dibaca, P merupakan suatu himpunan dengan x sedemikian sehingga x adalah bilangan prima kurang dari 12.

2) Q = {x | x nama-nama kabupaten/kota di Provinsi Lampung} Maka dibaca, Q merupakan suatu himpunan dengan x sedemikian sehingga x adalah nama-nama kabupaten/kota di provinsi Lampung. 

2. Tanda/simbol dan 11 

Untuk menyatakan anggota suatu himpunan umumnya menggunakan tanda , misalkan x Q berarti x adalah suatu anggota dari himpunan Q. Selain itu tanda umum digunakan untuk menyatakan bukan nggota himpunan dari, maka x Q berarti x bukan nggota himpunan dari Q.

3. Jenis-jenis Himpunan12 

a. Himpunan yang sama 

Himpunan dapat dikatakan sama apabila anggota-anggota dari satu himpunan dengan himpunan yang lainnya adalah sama, maka dapat ditulis dengan himpunan P = himpunan Q atau P = Q.

Contoh : 

P = { bilangan ganjil lebih dari 2 dan kurang dari delapan } 

Q = { bilangan prima ganjil kurang dari 9 } 

Dari himpunan di atas didapat: 

P = {3, 5, 7} 

Q = {3, 5, 7} 

Maka dapat disimpulkan bahwa P = Q karena kedua himpunan memiliki anggota yang sama yakni {3, 5, 7}.

b. Himpunan Yang Ekuivalen

Himpunan dapat dikatakan Ekuivalen apabila himpunan-himpunan tersebut memiliki banyaknya anggota yang sama.

Contoh : 

K = {2, 4, 6, 8} dan L = {p, q, r, s} 

Maka n(K) = 4 dan n(L) = 4 

Jadi n(K) = n(L) = 4 

Sehingga K dan L dikatakan himpunan yang ekuivalen karena memiliki banyaknya anggota yang sama.

c. Himpunan Terhingga dan Tak Terhingga

Himpunan Terhingga adalah himpunan dengan anggota himpunannya terhingga atau dapat dihitung, misalkan himpunan F

adalah himpunan bilangan positif kurang dari 20 atau F = {bilangan positif kurang dari 20}. Sedangkan himpunan Tak Terhingga adalah himpunan dengan anggota himpunannya tak terhingga atau tak dapat dihitung.

Contoh : 

Himpunan G adalah himpunan bilangan bulat positif lebih dari 1 atau G = {bilangan bulat positif lebih dari 1}, sehingga G merupakan himpunan tak terhingga.

d. Himpunan Kosong 

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dapat dinyatakan dengan {} atau .Dengan demikian, semua himpunan kosong adalah himpunan yang sama dan himpunan yang terbatas.

Contoh : 

Diketahui {himpunan bilangan bulat positif antara 12 dan 13} dan {mahasiswa UIN Lampung yang berumur 6 tahun}.

e. Himpunan Lepas 

Himpunan lepas adalah apabila dua atau lebih himpunan tidak memiliki anggota yang sama atau anggota dari masing-masing himpunan berbeda-beda.

Contoh : 

R = {a, b, c, d} dan S = {2, 4, 6, 8} maka dapat disimpulkan R dan S adalah himpunan lepas.

4. Kardinal Suatu Himpunan 

Kardinal himpunan berlaku untuk himpunan terbatas, yaitu banyaknya anggota di dalam suatu himpunan disebut sebagai bilangankardinal. Bilangan kardinal dinyatakan dengan n(P) dibaca banyaknya anggota dari himpunan P. Jika bilangan kardinal hanya dimiliki oleh himpunan terbatas maka bilangan kardinal dari himpunan kosong adalah nol, dan bilangan kardinal dari himpunan tak terhingga adalah tak terdefinisi.

5. Himpunan Bagian (Subset) 

Himpunan bagian adalah jika suatu himpunan setiap anggotanya ada pada himpunan yang lain. Misalkan himpunan K setiap nggota himpunannya ada pada himpunan L sehingga dapat dituliskan dengan K  L.Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri dan himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap

himpunan. 

Contoh 1.10: 

Himpunan K = {a, b}

Maka semua himpunan bagian yang mungkin pada himpunan K adalah , {a}, {b}, dan {a, b}, terdapat empat himpunan bagian pada himpunan yang memiliki dua anggota, maka dapat dituliskan banyaknya himpunan bagian adalah 2n (n adalah bilangan kardinal dari himpunan K) = 22 = 4 himpunan bagian dari himpunan K.

6. Himpunan Semesta (Universal) 

Himpunan semesta atau universal yang dilambangkan dengan S atau U, himpunan semesta memiliki semua himpunan sebagai anggotanya.

Contoh : 

P = {x | x merupakan siswa kelas 7 SMP Islam El Syihab} 

Q = {x | x merupakan siswa kelas 8 SMP Islam El Syihab} 

Maka S dapat ditulis dengan: 

S = {x | x merupakan siswa SMP Islam El Syihab}.

D. Operasi Pada Himpunan14 

1. Gabungan Dua Himpunan

Definisi: 

Gabungan dua himpunan P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota P atau Q atau keduanya dan dinyatakan dengan P Q yang dibaca P gabungan Q.

P Q = {x | x P atau x Q}

P = {1, 3, 5, 7, 9}, Q = {2, 3, 5, 7}, maka P Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9} sehingga P Q memuat semua anggota P dan Q tanpa adanya pengulangan.

2. Irisan Dua Himpunan

Definisi: 

Irisan dua himpunan P dan Q adalah semua anggota himpunan P dan Q yang sama dan dinyatakan dengan P Q yang dibaca P irisan Q, yakni P  Q = {x | x P dan x Q}

Perhatikan: 

a. P = P                b. P =  

c. P P = P                 d. P P = P

3. Selisih Dua Himpunan

Definisi: 

Jika P dan Q merupakan himpunan, maka suatu himpunan yang anggotanya dimiliki oleh P dan tidak dimiliki oleh Q disebut sebagai P.

Contoh : 

P = {a, b, c, d} dan Q = {b, c, d, e, f}, maka P -- Q = {a} dan Q -- P = {e, f}. jika P dan Q merupakan dua himpunan yang salingsaling lepas maka P -- Q = P dan Q -- P = Q dengan memperhatikan bahwa P -- P = dan P -- = P.

4. Komplemen Himpunan

Definisi: 

Misalnya S adalah himpunan semesta dan P adalah himpunan bagiannya. Komplemen dari himpunan P adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota dari himpunan P dan dinyatakan dengan Pc, yaitu Pc

= {x | x P dan x S}.

Contoh :

S = {a, b, c, d, e, f} dan P = {b, c, d}

Maka Pc = {a, e, f}.

Perhatikan bahwa:

a. P Pc = S b. S

c = S -- S =

c. P Pc = d. c = S -- = S

e. (Pc )

c = P

E. Diagram Venn

Diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli logika dari Inggris yakni John Venn. Ia menjelaskan operasi suatu himpunan dengan menggunakan diagram yang dikenal dengan Diagram Venn. Dalam penjelasannya bahwa himpunan disimbolkan dengan lingkaran dan himpunan yang dimaksud (menjadi tujuan) ditunjukkan dengan diarsir, dan himpunan semesta disimbolkan dengan persegi panjang. Berikut penjelasan melalui gambar: