Ketika Anak Bertanya: Negatif Kali Negatif Kok Positif?

Bukti paling awal tentang bilangan nol (0) ditemukan pada kebudayaan Sumeria di Mesopotamia, kira-kira 5.000 tahun yang lalu.
Bilangan 0 dan pengoperasiannya pertama kali didefinisikan oleh Brahmagupta, astronomer dan matematikawan Hindu,  pada 628 M.

Bilangan negatif juga dinyatakan oleh Bramagupta pada abad ke-7 M, yang menggunakan gagasan "kekayaan" dan "hutang" untuk bilangan positif dan negatif.

Terkait bilangan negatif, kita juga biasa menggunakan analogi hutang untuk menjelaskannya kepada anak.
Contoh:
-2 x 5 = -10
Seseorang berhutang $2 sebanyak 5 kali, jadi:  
-2 x 5 = (-2) + (- 2) + (- 2) + (-2) + (-2) = -10
hutangnya menjadi $10.

Bagaimana dengan: (-2)(-5) = ?
Apakah kita menjelaskannya dengan:
Seseorang berhutang $2 sebanyak 5 kali, lalu menyicil hutang itu sebanyak 5 kali juga, jadi:
(-2) x (-5)
= - (-2) - (- 2) - (- 2) - (-2) - (-2)
= +2 + 2 + 2 +2 +2
= 10

Atau dengan menggunakan sifat komutatif perkalian:
a.b = b.a
(-2)(-5) = (-5)(-2) = -(-5)-(-5) = +5 + 5 = 10
Seseorang berhutang $5 sebanyak 2 kali, lalu menyicil hutang itu sebanyak 2 kali juga.

Kali ini, si anak agak kesulitan menyambungkan logikanya dengan pembuktian yang agak paradoksal ini, karena dia memikirkan bahwa kalau dikaitkan dengan cicilan 5 kali, mestinya hutang orang itu menjadi 0. Bagaimana pula kalau hutang itu merupakan angka yang besar dan frekuensi penyicilannya tinggi?

Jawaban untuk pertanyaan di atas bisa dijelaskan secara umum dengan melibatkan sebuah bilangan positif lalu kalkulasinya mengikuti contoh barusan.
(-2)(-5) =
Suku pertama ditambah 2 (bilangan positif), akibatnya hasil perkaliannya menjadi 0.
(-2+2)(-5) = 0

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, (a+b).c = ac + bc, maka persamaan di atas menjadi:
(-2+2)(-5) = (-2)(-5) + 2(-5) = 0

Ini memunculkan kembali persamaan semula ((-2)(-5))
(-2)(-5) + (-10) = 0

Sehingga:
(-2)(-5) = 0-(-10) = 10

Perhatikan dengan cermat alur penyelesaian soal di atas.

Jonggol, 25 April 2021

Johan Japardi