Telaah Lingkaran Oleh Archimedes

17 Oktober 2015 05:29:22 Diperbarui: 17 Oktober 2015 05:44:39 Dibaca : 225 Komentar : 1 Nilai : 1 Durasi Baca :

Matematika dikenal dengan suatu bidang keilmuan yang sangat identik dengan angka dan rumus. Tetapi apakah rumus tersebut muncul dengan sendirinya? Ternyata ditemukannya memerlukan proses penalaran yang tidak mudah dan membutuhkan waktu yang lama. Demikian juga dengan bidang dimensi 2/datar yang kita kenal dengan lingkaran.

Seorang peneliti bernama archimedes merupakan orang yang mendalami dan menemukan konsep-konsep tentang lingkaran. Sebelum berbicara tentang proses penemuannya, tentu sebaiknya kita perlu mengenal sosok archimedes dengan lebih mendalam. Archimedes adalah seorang yang berasal dari Syracusa, sebuah kota pelabuhan di Yunani. Saat ini kota itu dikenal dengan nama Sisilia. Ia hidup sekitar tahun 287-212 Sebelum Masehi. Selain dikenal sebagai seorang ilmuwan, ia juga dikenal sebagai keponakan Raja Hiero II, pemimpin Syracusa pada masa itu.

Saat itu Syracusa sedang mengalami konflik dengan bangsa Romawi, sebagai akibat dari ketidakmauannya untuk mentaati perjanjian yang telah dibuat. Archimedes sebagai seorang ilmuwan dan keluarga kerajaan diminta untuk membantu dalam usaha perlawanan kerajaan terhadap romawi. Ia menghasilkan banyak peralatan perang seperti kapal dengan sekrup archimedes, katrol pengangkat kapal yang dikenal dengan nama Compound Pulley, perisai perang dengan cermin, ketapel dan balista. Konflik tersebut pada akhirnya merenggut nyawanya.

Dalam matematika, Archimedes berkontribusi dalam Kalkulus dan Goemetri. Dalam kalkulus ia merumuskan Teori Bilangan, sedangkan dalam Geometri, ia membahas tentang rumus luas lingkaran. Persisnya, Archimedes membuktikan bahwa luas lingkaran sama dengan setengah keliling kali jari-jarinya.

Bagaimana Archimedes membuktikan rumus luas lingkaran tersebut? Ia merumuskannya dengan memotong lingkaran menjadi sejumlah bagian, dan menyusun potongan-potongan lingkaran.

 

 

Andaikan luas lingkaran = L > T = ½ × keliling × jari-jari. Pilih bilangan asli n cukup besar sedemikian sehingga

T < luas segi-2n beraturan < L.

 

Dengan pelabelan segitiga menjadi

 

Misal AB adalah salah satu sisi pada segi-2n beraturan tersebut. Pada segitiga OAB, ruas garis ON tegak lurus terhadap AB. Di sini, |ON| < jari-jari. Jadi

Luas segi-2n beraturan = 2n × (½|AB| × |ON|)

                                      = ½ × (2n|AB| × |ON|)

                                        < ½ × keliling × jari-jari = T,

Berdasarkan temuan ini, didapatkan bahwa luas lingkaran berdiameter 1 sama dengan K/4, dengan K menyatakan keliling lingkaran berdiameter 1. Selanjutnya, misal L menyatakan luas lingkaran berjari-jari r.

Archimedes pun penasaran ingin mengetahui berapa nilai π yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dan diameternya. Dengan menggunakan segi-96 beraturan “yang memuat lingkaran”, Archimedes memperoleh taksiran

 

𝜋 < (22/7)

 

Archimedes membagi dua sudut di titik puncak segitiga (yang berimpit dengan titik pusat lingkaran) pada segi-enam beraturan tadi, dan menaksir keliling lingkaran dengan keliling segi-12 beraturan yang memuat lingkaran. Dengan menggunakan kesebangunan dua segitiga dan perhitungan perbandingan panjang sisi sisi segitiga yang terlibat (dengan teliti), Archimedes mendapatkan taksiran yang lebih halus, yaitu p < 12 × 153/571 = 1836/571.

 

Ia kemudian membagi dua lagi sudut di titik puncak segi-12 beraturan untuk memperoleh segi-24 beraturan dan, dengan perhitungan yang semakin rumit, ia mendapatkan taksiran berikutnya, yaitu p < 24 × 153/1162,125. Perhatikan betapa Archimedes tidak ingin mengabaikan nilai 0,125 yang sama dengan 1/8 itu dalam perhitungannya, guna mendapatkan taksiran yang teliti untuk p.

Langkah yang serupa dilakukan lagi oleh Archimedes, sehingga ia memperoleh taksiran untuk p melalui segi-48 beraturan, yaitu p < 48 × 153/2334,25, dan akhirnya melalui segi-96 beraturan, p < 96 × 153/4673,5 = 22/7. Eureka!

Apakah Archimedes berhenti sampai di sini? Tidak, ia masih melanjutkan menaksir nilai p “dari sebelah kiri”, dengan menggunakan segi-96 beraturan “di dalam lingkaran”. Dalam hal ini, ia memperoleh

taksiran p > 223/71. Dengan hasil ini, Archimedes menyimpulkan bahwa 223/71 < p < 22/7. Bila kita kemudian menganggap p ˜ 22/7, maka kesalahan dalam penaksiran ini tentunya takkan lebih daripada 22/7 – 223/71 ˜ 0,002.

Waw ..sangat luar biasa yang pemikiran Archimedes, semoga prosesnya tersebut dapat menginspirasi kita semua.

 

KOMPASIANA ADALAH PLATFORM BLOG, SETIAP ARTIKEL MENJADI TANGGUNGJAWAB PENULIS.

NILAI :

Daftarkan email Anda untuk mendapatkan cerita dan opini pilihan dari Kompasiana