Selama ini banyak siswa yang kesulitan membagi polinomial dengan pembagi yang berderajat lebih dari satu. Padahal kita bisa mengembangkan metode horner untuk melakukan pembagiannya. Dengan pengembangan tersebut, kita tidak perlu membedakan apakah pembaginya dapat difaktorkan apa tidak. Bagaimana pengembangannya
PENGEMBANGAN METODE HORNER PADA PEMBAGIAN POLINOMIAL
DENGAN PEMBAGI BERDERAJAT DUA ATAU LEBIH
Disajikan dalam
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Dengan tema
”Peranan Matematika Dalam Mendukung Pembangunan SDM yang Handal”
Oleh:
ISMA’IL,S.Pd
Guru SMAN 1 Talun Kabupaten Blitar
Email: ismail_sman1talun_ict07@yahoo.co.id
Program Pascasarjana Pendidikan Matematika
Universitas Negeri Surabaya – Kampus Ketintang - Surabaya
8 AGUSTUS 2009
PENGEMBANGAN METODE HORNER PADA PEMBAGIAN POLINOMIAL
DENGAN PEMBAGI BERDERAJAT DUA ATAU LEBIH
Oleh: ISMA’IL,S.Pd
Guru SMAN 1 Talun Kabupaten Blitar
Email: ismail_sman1talun_ict07@yahoo.co.id
ABSTRAK
Kata kunci: Horner, Pembagian, Derajad dua,Lebih
Selama ini kita mengenal pembagian polinomial dengan menggunakan metode Horner dan cara panjang atau yang lebih dikenal dengan “poro gapit”. Pembagian dengan cara panjang memiliki kelemahan yang antara lain memerlukan waktu panjang, tempat luas, ketelitian yang tinggi, dan agak sulit. Sementara itu untuk pembagi berderajat 2,metode Horner yang dikenal selama ini hanya dikenalkan untuk pembagi yang dapat difaktorkan. Misalkan fungsi f(x) dibagi p(x) ,p(x)=(x-a)(x-b), s(x) sisa pembagian, serta h(x) adalah hasil baginya. Maka dapat ditulis f(x) = p(x).h(x) + s(x). Dimana S(x) = P1S2 + S1, atau sisa pembagian sama dengan pembagi pertamakali sisa kedua ditambah sisa pertama. S1 = x-a, S2 = x-b, atau sebaliknya tidak mempengaruhi hasil. Untuk pembagiberderajat 2 yang tidak dapat difaktorkan terpaksa/harus menggunakan pembagian cara panjang. Sehingga siswa harus mengenali terlebih dulu apakah pembaginya dapat difaktorkan atau tidak.
Padahal, kita dapat memperluas penggunaan metode Horner pada pembagaian polinom yang berderajat 2 atau lebih tanpa harus membedakan pembaginya dapat difaktorkan atau tidak. Disini kita akan membicarakan pembagian model horner dengan pembagi berderajat dua atau lebih baik dapat difaktorkan maupun tidak. Model ini dikembangkan dengan melihat adanya kesamaan pola pembagian model horner dengan pembagian cara panjang dengan pembagi berderajad satu, kemudian diperluas pada derajad 2 kemudian derjad 3 dan seterusnya. Dengan ini diharapkan akan dapat membantu siswa menentukan sisa dan hasil bagi polinom dengan pembagi berderajat dua atau lebih secara mudah.
PENDAHULUAN
Polinomial merupakan salah satu materi yang masuk dalam standart isi yang disusun oleh BSNP. Pada tingkat SLTA, materinya meliputi bentuk umum polinom, operasi aljabar, teorema sisa, dan teorema faktor. Operasi aljabar yang dimaksud meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian tidak terlalu banyak mengundang masalah. Sedangkan pembagian banyak siswa yang mengalami kesulitan.
Bentuk umum polinom dalam variabel x adalah F(x) = anxn+ an-1xn-1+ anxn+ an-2xn-2+ an-3xn-3+... a2x2+ a1x+ a0, dimana ai adalah koefesien xi untuk i =1,2,3,...,n dan a0 adalah suku tetap atau konstanta serta an tidak sama dengan nol. Sebagai contoh polinom antaralain g(x) = 3x4+ 2x2 + 3x – 9,h(x) =5x5 + 3x4 – 2x + 1, dan lain-lain.
Pada polinom berlaku operasi aljabar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Untuk penjumlahan dan pengurangan menggunakan aturan dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisien-koefisien dari variabel yang berderajad sama. Sebagai contoh jika digunakan f(x) + h(x) =( 3x4+ 2x2 + 3x – 9)+ (5x5 + 3x4 – 2x + 1) = 5x5 + 6x4 + x – 8. Untuk perkalian dilakukan dengan menggunakan perkalian biasa, sifat distributif perkalian dan penjumlahan. Sedangkan untuk pembagian bisa dikerjakan dengan menggunakan perkalian cara panjang, “ poro gapit”.
PEMBAGIAN
Untuk pembagian menggunakan bentuk dasar pembagian yaitu yang dibagi sama dengan pembagi kali hasil bagi ditambah sisa. Untuk pembagi berderajad satu sudah banyak buku yang membahas dan tidak ada masalah yang berarti. Sedangkan untuk pembagi berderajad dua, masih dipisahkan antara pembagi yang dapat difaktorkan dan pembagi yang tidak dapat difaktorkan.
Untuk pembagi yang dapat difaktorkan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
Jika F(x) : (x-a)(x-b). Misalkan P1= x-a dan P2= x-b
F(x) = P1(x). H1(x) + S1(x)
H1(x) = P2(x). H2(x) + S2(x). Sehingga diperoleh
F(x) = P1(x). [P2(x). H2(x) + S2(x)] + S1(x)
= P1(x). P2(x). H2(x) +P1 S2(x) + S1(x) .....................................(1)
Dimana hasil baginya adalah H2(x) dan sisanyaP1 S2(x) + S1(x), dengan S2(x) dan S1(x) dapat diperoleh dengan metode horner. Perlu dimengerti bahwa derajad yang dibagi sama dengan derajad pembagi ditambah derajad hasil bagi, sedangkan serajad sisa maksimal derajad pembagi dikurangi satu. Sehingga jika pembaginya berderajad satu maka sisanya paling banyak berderajad nol, jika pembagi berderajad dua maka sisanya paling banyak berderajad satu, jika pembagi berderajad tigamaka sisanya paling banyak berderajad dua, dan seterusnya.
METODE HORNER
Cara melakukan pembagian tersebut adalah sebagai berikut:
(intan pariwara: 281)
Sebelum menggunakan metode horner, terlebih dulu kita coba melakukan pembagian polinom dengan cara panjang. Misalkan(3x4+ 2x2 + 3x – 9 ):(x-2)
Contoh 1.
X – 2/3x4 + 2x2 + 3x – 9 3x3 + 6x2 + 14x + 31
3x4 – 6x3
-------------------------
6x3 + 2x2 + 3x – 9
6x3 -12x2
----------------------
14x2 + 3x – 9
14x2 - 28x
-------------------
31x – 9
31x – 62
--------------
53
Dari pembagian diatas diperoleh hasil bagi 3x3 + 6x2 + 14x + 31 dan sisa 53.
Jika dikerjakan dengan metode horner maka proses pembagiannya adalah sebagai berikut:
Contoh 2.
3023- 9
206122862
361431 |53
Koefisien hasil bagisisa
Jadi diperoleh hasil yang sama dengan cara panjang.
Untuk pembagi yang berbebentuk ax + b, maka sisanya sama dengan jika f(x) dibagi x + (b/a) sedangkan hasil baginya adalah 1/a darihasil bagi jika f(x) dibagi x + (b/a).
Pada pembagi yang berderajad dua, selama ini kita selalu membedakan antara yang bisa difaktorkan dan tidak dapat difaktorkan. Perhatikan contoh berikut. Untuk pembagi yang tidak dapat difaktorkan digunakan cara panjang, sebagai contoh (x4 + 3x3-2x2+x-5):(x2+1).
Contoh 3
(intan Pariwara: 285)
Diperolehhasil bagi x2+3x-3 dan sisa -2x-2.
Sedangkan untuk pembagi yang dapat difaktorkan dapat menggunakan metode horneryang langkah-langkahnya seperti padapersamaan (1). Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 4.
(intan pariwara : 288)
Hal ini tentunya menyulitkan siswa, karena harus membedakan apakah pembaginya dapat atau tidak dapat difaktorkan. Untuk itu pada kesempatan ini akan kita bahas pengembangan metode horner ini untuk pembagi berderajad 2 atau lebih. Sehingga dapat mempermudah siswa untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suatu polinom.
METODE HORNER UNTUK PEMBAGI BERDERAJAD 2 ATAU LEBIH
Misalkan polinom ax3 + bx2 + cx + d : x2 – px – q, dengan menggunakan cara panjang proses pembagian dapat dilakukan sebagai berikut.
x2 – px – q / ax3 + bx2 + cx + d ax + (ap + b)................... hasil bagi
ax3 – apx2 – aqx
------------------------
(ap + b)x2 + (c + aq)x + d
(ap + b)x2 – (ap+b)px – (ap+b)q
-------------------------------------------
(p(ap+b)+(c+aq))x + (d + (ap+b)q) .......sisa
Jika menggunakan metode horner, maka pembagiannya menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1.
Tuliskan koefisien dari yang dibagi dari pangkat tertinggi menuju konstanta.
Langkah 2.
Tuliskan lawan (negatif) koefisien pembagi kecuali koefisien x pangkat 2 disamping kirinya.
langkah 2langkah 1
a
b
c
d
p
ap
