Di Balik Angka 28

Jum'at ini, 28 Maret 2025, bertepatan dengan tanggal 28 Ramadan. Orang-orang biasa menyebutnya Jum'atul Wada'. Jum'at terakhir untuk mengucapkan selamat jalan kepada Ramadan sekaligus Jum'at Agung sebagai penanda Idulfitri akan segera tiba. Bilangan hari dalam bulan-bulan Kamariah, berjumlah 29 atau 30. Artinya, Ramadan akan berakhir dalam 1 atau 2 hari ke depan. 

Angka 28 sendiri adalah bilangan istimewa. Ia dalam matematika termasuk bilangan sempurna. Mengapa disebut bilangan sempurna?

Begini penjelasannya. Seperti kita ketahui bersama, faktor pembagi 28 adalah: 1, 2, 4, 7 dan 14. Jika kita jumlahkan kelima bilangan aslinya, maka hasilnya 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). 

Jadi, bilangan sempurna adalah bilangan yang jumlah faktor pembaginya (selain dirinya sendiri) sama dengan bilangan itu sendiri. Sementara dalam konteks Ramadan, dengan maksimal 30 harinya, bilangan sempurna kedua setelah 6 adalah 28. Tanggal di mana Jum'atul Wada' berada, hari ini.

Bilangan Prima Mersenne

Bilangan sempurna membawa kita berkenalan dengan Marin Mersenne (1588-1648). Seorang polymath asal Prancis. Sejarawan Peter L. Bernstein menyebutnya sebagai "pusat dunia sains dan matematika selama pertengan pertama tahun 1600an". Nama depan Marin, mengingatkan saya pada Marijn van Putten, seorang linguis sekaligus peneliti bahasa Arab Al-Qur'an asal Belanda.

Marin Mersenne  (Sumber: https://www.istockphoto.com/)

Mersenne, salah satunya, dikenal dengan bilangan prima Mersenne yang dihasilkan dari rumus Mp = 2^p-1. Di mana M adalah Mersenne dan p adalah bilangan prima. Lalu apa hubungannya 28 dengan bilangan prima Mersenne?

Bilangan sempurna (P) dapat diturunkan dari bilangan prima Mersenne dengan rumus P = 2^(p-1) (2^p-1), di mana 2^p-1 adalah bilangan prima Mersenne. Untuk itu bilangan sempurna memiliki kaitan erat dengannya. Kita buktikan: P = 2^(3-1) (2^3-1) = 2^2 x 7, dan 4 x 7 adalah 28.

Beberapa Hal Menarik Lainnya

28 termasuk bilangan triangular. Bilangan segitiga. 28 adalah jumlah dari tujuh bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Kita bisa melihat ilustrasi tumpukan kayu di bawah ini.

Ilustrasi 28 sebagai bilangan triangular (Sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Die_Gartenlaube)

Jumlah hari pada Bulan Februari dalam Tahun Kabisat sebanyak 28 hari. Siklus menstruasi wanita juga berlangsung sekitar 28 hari. Pun demikian dengan siklus lunar (Bulan) berlangsung rata-rata  28 hari. 

"Tahun lunar panjangnya sekitar 354 hari dan mencakup 12 siklus luminansi. Meskipun bulan hanya membutuhkan waktu sekitar 27,3 hari untuk mengorbit Bumi, dua hari orbit tambahan memungkinkan sinar matahari menyinari bulan dengan cara yang sama seperti hari ke-0, sehingga siklusnya pun lengkap, tulis Deanna MacNeil, PhD.

Karena sifat-sifatnya yang unik inilahangka 28 sering muncul dalam berbagai aspek matematika, astronomi, dan numerologi.

Bilangan sempurna lainnya, selain 28, misalnya 6 yang merupakan penjumlahan dari faktorialnya: 1 + 2 + 3 dan 496 dari 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Untuk mencari P bilangan sempurna selanjutnya kita bisa bisa menggunakan rumus P = 2^(p-1) (2^p-1) sebagaimana disebutkan sebelumnya.

Bila p = 7 menghasilkan bilangan sempurna 8128, setelah sebelumnya p = 5 adalah 496, maka untuk p = 11 misalnya, kita mendapatkan bilangan sempurna 2.096.128 melalui perhitungan 2^(11-1) (2^11-1) = 2^10 x 2047 = 1024 x 2047 = 2.096.1282.

Uniknya setiap bilangan sempurna juga merupakan bilangan triangular, karena bisa dituliskan sebagai jumlah berurutan dari bilangan asli. Meski tidak semua rumus Mersenne 2^p-1 menghasilkan bilangan prima, tetapi ketika itu benar, hasilnya sering dikaitkan dengan bilangan sempurna. Karena jasanya, bilangan ini dinamai Bilangan Prima Mersenne.

Bilangan Sempurna Tertinggi Versi AI

Pagi tadi saya menggoda aplikasi AI yang terpasang di hp "jebot" saya. "Berapa bilangan sempurna terbesar yang bisa kamu hitung saat ini?" 

Perlahan namun pasti, kecerdasan buatan yang diprakarsai Elon Musk dan rekannya ini menuliskan sederet angka berikut: "2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176." 

AI pun dengan sigap membacakannya untuk saya, "Dua desiliun enam ratus lima puluh delapan noniliun empat ratus lima puluh lima oktiliun sembilan ratus sembilan puluh satu septiliun lima ratus enam puluh sembilan sextiliun delapan ratus tiga puluh satu kuintiliun tujuh ratus empat puluh empat quadriliun enam ratus lima puluh empat triliun enam ratus sembilan puluh dua miliar enam ratus lima belas juta sembilan ratus lima puluh tiga ribu delapan ratus empat puluh dua ribu seratus tujuh puluh enam."

Bilangan ini memiliki 37 digit dan berasal dari bilangan prima Mersenne dengan p = 61. Kalau ingin yang lebih besar lagi, butuh komputer super untuk menghitungnya, jawabnya sambil menyematkan emot winking.

Pangkat Dua dan Bilangan Sempurna

Kembali kepada rumus P = 2^(p-1) (2^p-1), sebuah insight terbersit. Faktor pangkat dua, seperti 1, 2, 4, 8, 16 selalu ada dalam semua bilangan sempurna. Dengan kata lain, 1, 2, 4, 8, dan 16 adalah bagian fundamental dalam pola bilangan sempurna. 

Mari kita sejenak main-main! 1 = 2^0, 2 = 2^1, 4 = 2^2, 8 = 2^3 dan 16 = 2^4. Menyenangkan, bukan? 

Lalu, bagaimana dengan faktor-faktor 28 yaitu 1, 2, 4, 7, 14 dan 28? Hal menyenangkan kembali terjadi. 1 = 2^0, 2 = 2^1, 4 = 2^2, 7 adalah bilangan tersendiri, 14 = 2^1 x 7 dan 28 = 2^2 x 7. 

Sebentar, ada sesuatu yang istimewakah? Ya, angka 7. Saya menyebutnya si angka "nyentrik". Ia bersama 1 keduanya merupakan bilangan gasal dalam faktorial 28. Sementara itu, yang lainnya genap. Bila 1 seringkali identik dengan Tuhan, God's number, maka 7 adalah bilangan "favorit"-Nya saat mengungkapkan kreasi-Nya luar yang biasa.

Menariknya, semua angka tersebut berada di bawah 28, sebuah angka sempurna tertinggi dalam bilangan hari-hari Ramadan!

Sebuah Pengakuan

Di ujung tulisan saya harus melakukan pengakuan. Nilai-nilai matematika saya saat SMA dulu selalu mengenaskan. Bukan karena tidak berbakat. Lebih karena minat, nampaknya. Atas suramnya karir pembelajaran matematika, saya memilih untuk menyikapinya secara playful. Bukankah mencintai tidak harus selalu memiliki? 

Hehehe