Filsafat Matematika Descartes [3]

Tulisan berikut ini adalah esensi pada gagasan matematika Rene Descartes dalam buku 1, dan buku 2 sebagai dasar matematika ekonomi di program pascarsajana dalam bidang ekonometrika atau singkatan ekonomi, matematika, dan statistika

Buku Dua dari La Geometrie berjudul "On the Nature of Curved Lines" dan dimulai dengan perbedaan terkenal antara kurva "geometrik" dan "mekanis" Descartes. Mengingat pentingnya untuk memahami program La Geometrie serta perhatian perbedaan ini telah diambil dari komentator, ada baiknya memeriksa proposal yang dibuat di halaman pembuka Buku Dua dengan hati-hati.

Descartes dimulai dengan mengacu pada klasifikasi masalah kuno dan menawarkan interpretasinya tentang bagaimana ahli matematika kuno membedakan kurva yang dapat digunakan dalam solusi untuk masalah geometri dari yang tidak bisa:

Orang dahulu akrab dengan fakta masalah geometri dapat dibagi menjadi tiga kelas, yaitu, bidang, masalah solid, dan linier. Ini sama dengan mengatakan beberapa masalah hanya memerlukan lingkaran dan garis lurus untuk konstruksi mereka, sementara yang lain memerlukan bagian kerucut dan yang lain lagi kurva yang lebih kompleks.

Namun, saya terkejut mereka tidak melangkah lebih jauh, dan membedakan antara tingkat yang berbeda dari kurva yang lebih kompleks, saya juga tidak melihat mengapa mereka menyebut yang disebut terakhir dengan mekanik, daripada geometris. Jika mengatakan itu disebut mekanis karena semacam instrumen harus digunakan untuk menggambarkannya, maka harus, agar konsisten, menolak lingkaran dan garis lurus, karena ini tidak dapat dijelaskan di atas kertas tanpa menggunakan kompas dan penggaris. , yang juga dapat disebut instrumen.

Itu bukan karena instrumen lain, yang lebih rumit daripada penggaris dan kompas, karena itu kurang akurat, karena jika demikian mereka harus dikeluarkan dari mekanika, di mana akurasi konstruksi bahkan lebih penting daripada dalam geometri. Dalam yang terakhir, ketepatan nalar saja dicari, dan ini pasti bisa menyeluruh dengan mengacu pada garis-garis seperti yang lebih sederhana (G, 40-44).

Descartes menyiratkan istilah "mekanis" dan "non-geometris" adalah identik dalam matematika kuno, meskipun sama sekali tidak jelas ini adalah makna yang dimaksudkan dari istilah "mekanis." Yaitu, tidak jelas, mengingat bukti tekstual yang tersedia, klasifikasi kurva menjadi "geometris" dan "mekanik" dimaksudkan untuk berfungsi sebagai klaim normatif mengenai legitimasi penggunaan kurva dalam pemecahan masalah geometris.

Ini bisa dengan mudah dibaca sebagai moniker deskriptif yang menangkap berbagai cara di mana kurva dibangun campuran Descartes tentang deskriptif dan normatif dalam proposal 1619 untuk proposal " ilmu baru "geometri).

Di samping Descartes membaca tentang nenek moyang, yang penting untuk memahami interpretasinya sendiri yang unik tentang kurva geometris adalah perbedaan yang ia tarik antara "akurasi konstruksi" dari sebuah kurva, yang ia berikan masalah untuk mekanik, dan "ketepatan penalaran," "Yang ia anggap sebagai satu-satunya persyaratan untuk menerima kurva sebagai geometri yang sah.

Dalam membuat klaim ini, Descartes sedang mengukir tempat yang unik untuk gagasannya tentang kurva geometris: Dia meninggalkan kriteria "ketepatan konstruksi" yang diadopsi Clavius dalam karya-karya awalnya untuk membuat kurva yang dapat diterima dalam pemecahan masalah geometri dan juga klaim yang diteruskan oleh Viete kurva yang dibangun secara instrumen tidak dianggap geometris.

Seperti yang disiratkan oleh presentasi Descartes, kedua kriteria ini membingungkan masalah mekanika dengan "ketepatan penalaran" yang merupakan satu-satunya perhatian geometri. Dengan demikian, ketika Buku Dua berlanjut, Descartes menegaskan kembali untuk menentukan status geometrik kurva harus meletakkan fokus pada masalah-masalah penalaran yang tepat dan jelas dan, khususnya, pada pertanyaan apakah kurva dapat dibangun dengan gerakan yang tepat dan jelas. Setelah mempresentasikan postulat "dua atau lebih garis dapat digerakkan, satu demi satu, menentukan dengan persimpangan mereka kurva lainnya," Descartes menjelaskan,